5 Analyse der Produktivität der westdeutschen Bundesländer von
5.3 Test der totalen Faktorproduktivität auf Robustheit: Ein Vergleich
Ein Vergleich mit dem Malmquist-Index
Die Data Envelopment Analysis (DEA) ist ein Verfahren zur Effizienzmessung, das auch zur Untersuchung von dynamischen Prozessen verwendet wird. Dabei wird auf den sogenannten Malmquist-Index zurückgegriffen, der nach dem Öko-nomen Sten Malmquist benannt wurde. Caves, Christensen und Diewert (1982) haben als Erste diesen Index zur Produktivitätsmessung genutzt.103 Der Malm-quist-Index gibt an, wie sich die Produktivität einer sogenannten „decision ma-king unit“ (DMU) zwischen zwei Perioden ändert. Die Distanzfunktion misst den Abstand einer DMU i (hier: Bundesland i) zum Zeitpunkt t = 1,...,T zum effizienten Rand einer Frontierfunktion. Sie kann in input- oder outputorientier-ter Form dargestellt werden. Wenn von einer Technologiemenge unoutputorientier-ter konstanten Skalenerträgen ausgegangen wird, unterscheiden sich die input- und outputorien-tierten Distanzfunktionen nicht. Formal lässt sich die Distanzfuntion in output-orientierter Form wie folgt darstellen.104
(21) Dit
xit,yit
inf:xit,yitStDabei ist die Technologie definiert als St = {(xt, yt): xt produziert yt} mit als Out-putvektor und als InOut-putvektor. Die Distanzfunktion ist gleich eins für alle Input-Output-Kombinationen, die auf der Output-Isoquante liegen. In diesem Fall ist die Produktion technisch effizient, da mit den vorhandenen Produktionsfaktoren der technisch mögliche Output (d.h. 100 Prozent) produziert wird. Umso weiter eine Input-Output-Kombination vom effizienten Rand der Technologie entfernt ist, desto mehr müsste die Outputmenge erhöht werden und desto kleinere Werte nimmt die Distanzfunktion an.105
103 Vgl. Caves, Douglas; Christensen, Laurits; Diewert, Erwin (1982), The Economic Theory of Index Numbers and the Measurement of Input, Output and Productivity, in: Econometrica, 50(6), S. 1393-1414.
104 Vgl. Cantner, Uwe; Krüger, Jens; Hanusch, Horst (2007), Produktivitäts- und Effizienzanalyse:
der nicht-parametrische Ansatz, Berlin, S.247 ff.
105 Vgl. Cantner/Krüger/Hanusch (2007), S. 251.
triktiven Annahmen bezüglich der Elastizitäten α und k getroffen werden müs-sen.
5.3 Test der totalen Faktorproduktivität auf Robustheit:
Ein Vergleich mit dem Malmquist-Index
Die Data Envelopment Analysis (DEA) ist ein Verfahren zur Effizienzmessung, das auch zur Untersuchung von dynamischen Prozessen verwendet wird. Dabei wird auf den sogenannten Malmquist-Index zurückgegriffen, der nach dem Öko-nomen Sten Malmquist benannt wurde. Caves, Christensen und Diewert (1982) haben als Erste diesen Index zur Produktivitätsmessung genutzt.103 Der Malm-quist-Index gibt an, wie sich die Produktivität einer sogenannten „decision ma-king unit“ (DMU) zwischen zwei Perioden ändert. Die Distanzfunktion misst den Abstand einer DMU i (hier: Bundesland i) zum Zeitpunkt t = 1,...,T zum effizienten Rand einer Frontierfunktion. Sie kann in input- oder outputorientier-ter Form dargestellt werden. Wenn von einer Technologiemenge unoutputorientier-ter konstanten Skalenerträgen ausgegangen wird, unterscheiden sich die input- und outputorien-tierten Distanzfunktionen nicht. Formal lässt sich die Distanzfuntion in output-orientierter Form wie folgt darstellen.104
(21) Dit
xit,yit
inf:xit,yitStDabei ist die Technologie definiert als St = {(xt, yt): xt produziert yt} mit als Out-putvektor und als InOut-putvektor. Die Distanzfunktion ist gleich eins für alle Input-Output-Kombinationen, die auf der Output-Isoquante liegen. In diesem Fall ist die Produktion technisch effizient, da mit den vorhandenen Produktionsfaktoren der technisch mögliche Output (d.h. 100 Prozent) produziert wird. Umso weiter eine Input-Output-Kombination vom effizienten Rand der Technologie entfernt ist, desto mehr müsste die Outputmenge erhöht werden und desto kleinere Werte nimmt die Distanzfunktion an.105
103 Vgl. Caves, Douglas; Christensen, Laurits; Diewert, Erwin (1982), The Economic Theory of Index Numbers and the Measurement of Input, Output and Productivity, in: Econometrica, 50(6), S. 1393-1414.
104 Vgl. Cantner, Uwe; Krüger, Jens; Hanusch, Horst (2007), Produktivitäts- und Effizienzanalyse:
der nicht-parametrische Ansatz, Berlin, S.247 ff.
105 Vgl. Cantner/Krüger/Hanusch (2007), S. 251.
Die Produktionspunkte, die auf der Output-Isoquante liegen, stellen die Best-Practice-Frontierfunktion dar, die als Maßstab für die relative Effizienz der Produktionspunkte aller betrachteten DMUs dient.106 Der Malmquist-Index kann nun zur Technologiemenge der Periode t oder der Periode t+1 berechnet werden:
Erfahrungsgemäß kann aber nicht eindeutig bestimmt, welche Technologiemen-ge zur Messung der Produktivität besser Technologiemen-geeignet ist, weshalb vorwieTechnologiemen-gend das geometrische Mittel der beiden Indizes berechnet wird.
(23)
Das geometrische Mittel soll dabei Verzerrungen vorbeugen, die entstehen, wenn als Referenz die Technologiemenge aus lediglich einer Periode herange-zogen wird. Der erste Term in der Klammer vergleicht dabei die Distanz eines Landes in den Perioden t und t+1 zu der Frontierfunktion der Periode t. Der zweite Term nimmt diesen Vergleich zur Frontierfunktion der Periode t+1 vor.107 Darüber hinaus kann der Malmquist-Index nach einer Erweiterung und einer Umformung in zwei Komponenten zerlegt werden, die eine Änderung der re-lativen Effizienz (EF) sowie eine Änderung des technischen Fortschritts (TF) widerspiegeln. die durch die Veränderung der Distanz der Input-Output-Kombination zur Fron-tierfunktion der Perioden t und t+1 wiedergegeben wird. Liegt eine DMU in der Periode t+1 näher an der Frontierfunktion als in der Periode t, hat sie die Produk-tionsmöglichkeiten in t+1 besser genutzt und eine Tendenz zum technologischen Aufholen (Catching-up) gezeigt. Dieser Ausdruck spiegelt neben der Technolo-giediffusion auch die Kapazitätsauslastung und die Wettbewerbsbedingungen in einem Land wider.108
106 Vgl. Krüger, Jens (2000), Produktivität und Wachstum im internationalen Vergleich, Köln, S. 96 f.
107 Vgl. Krüger (2000), S. 102 ff.
108 Vgl. Färe, Rolf u.a. (1994), Productivity Growth, Technical Progress, and Efficiency Change in Industrialized Countries, in: American Economic Review, 84(1), S. 71.
Der zweite Ausdruck gibt den technischen Fortschritt wieder, der über das geometrische Mittel der intertemporalen Verschiebungen der Frontierfunktionen bestimmt wird. Hierbei wird die Distanz der Produktionspunkte in den beiden Perioden t und t+1 zur Frontierfunktion der Periode t+1 und t bestimmt. Aus-schlaggebend sind die Richtung sowie das Ausmaß der Verschiebung der tierfunktion. Der technische Fortschritt gibt die relative Verschiebung der Fron-tierfunktion wieder. Dabei kann ein Land einen hohen Wert für den technischen Fortschritt haben, ohne die Frontierfunktion selbst vorangetrieben zu haben. Der technische Fortschritt gibt in diesem Fall an, welchen Einfluss Innovationen auf die Produktivitätssteigerung im Land hatten.109
Das bisher Gesagte lässt sich grafisch anhand eines einfachen Beispiels mit einem Input (x) und einem Output (y) verdeutlichen. In der nachstehenden Abbil-dung ist die Veränderung des Produktionspunktes von A in t nach B in t+1 eines Landes dargestellt. Die Verschiebung der Frontierfunktion von St zu St+1 wird dabei von einem zweiten nicht betrachteten Land ausgelöst.
Abbildung 23 Beispiel zur Berechnung des Malmquist-Index
Quelle: Eigene Darstellung in Anlehnung an Krüger, Jens (2000), Produktivität und Wachstum im internationalen Vergleich, Köln, S. 105.
Mit Hilfe der obigen Grafik können die technische Effizienz und der technische Fortschritt folgendermaßen bestimmt werden:
(25) EF0'B 0'c 0A
0a
109 Vgl. Färe u.a. (1994), S. 71 sowie Krüger (2000), S. 95 ff.
Der zweite Ausdruck gibt den technischen Fortschritt wieder, der über das geometrische Mittel der intertemporalen Verschiebungen der Frontierfunktionen bestimmt wird. Hierbei wird die Distanz der Produktionspunkte in den beiden Perioden t und t+1 zur Frontierfunktion der Periode t+1 und t bestimmt. Aus-schlaggebend sind die Richtung sowie das Ausmaß der Verschiebung der tierfunktion. Der technische Fortschritt gibt die relative Verschiebung der Fron-tierfunktion wieder. Dabei kann ein Land einen hohen Wert für den technischen Fortschritt haben, ohne die Frontierfunktion selbst vorangetrieben zu haben. Der technische Fortschritt gibt in diesem Fall an, welchen Einfluss Innovationen auf die Produktivitätssteigerung im Land hatten.109
Das bisher Gesagte lässt sich grafisch anhand eines einfachen Beispiels mit einem Input (x) und einem Output (y) verdeutlichen. In der nachstehenden Abbil-dung ist die Veränderung des Produktionspunktes von A in t nach B in t+1 eines Landes dargestellt. Die Verschiebung der Frontierfunktion von St zu St+1 wird dabei von einem zweiten nicht betrachteten Land ausgelöst.
Abbildung 23 Beispiel zur Berechnung des Malmquist-Index
Quelle: Eigene Darstellung in Anlehnung an Krüger, Jens (2000), Produktivität und Wachstum im internationalen Vergleich, Köln, S. 105.
Mit Hilfe der obigen Grafik können die technische Effizienz und der technische Fortschritt folgendermaßen bestimmt werden:
Um schließlich den Malmquist-Index in mittlere jährliche Veränderungen umzu-rechnen, wird die folgende Formel verwendet: 110
(27) 2 2 1 1 100
Diese Formel kommt zur Anwendung, da es sich bei dem Malmquist-Index ur-sprünglich um multiplikative Verknüpfungen handelt, die Wachstumsfaktoren entsprechen.111
Schließlich sind die Vorteile des Malmquist-Index vielfältig. Es müssen weder Informationen zu den Faktorpreisen noch neutraler technischer Fortschritt (Pro-duktivitätsveränderung) wie im Falle der Cobb-Douglas Produktionsfunktion vorliegen. Folglich müssen keine konstanten Skalenerträge und keine vollstän-dige Konkurrenz angenommen werden. Es werden somit keine Annahmen über das Wettbewerbsverhalten der Wirtschaftssubjekte getroffen. Überdies kann die Veränderung der Produktivität in eine Effizienzveränderung sowie in techni-schen Fortschritt zerlegt werden. Jedoch hat die Verwendung der dynamitechni-schen DEA auch Nachteile. So wird nur die Frontierfunktion der Stichprobe als Effi-zienzmaßstab herangezogen, wobei nicht gesagt ist, ob die untersuchten DMU’s auch tatsächlich effizient produzieren. 112 Zudem kann allen DMU’s lediglich die gleiche Produktionsfunktion zuerkannt werden.
Die Berechnung des Malmquist-Index für die westdeutschen Bundesländer hat zu den folgenden Ergebnissen geführt.113
Die Berechnung der mittleren jährlichen Veränderung des Malmquist-Index hat ergeben, dass in den 1950er Jahren die höchsten Wachstumsraten des Malm-quist-Index – abgesehen von Hamburg – vorlagen. In den 1950er Jahren hatten die Bundesländer Rheinland-Pfalz mit 9,60 Prozent, Baden-Württemberg mit 8,60 und Bayern mit 8,62 Prozent die höchsten Wachstumsraten des Malmquist-Index.
Hamburg als Produktivitätsführer hatte die niedrigste Wachstumsrate mit 4,08
110 Vgl. das geometrische Mittel:
Um schließlich den Malmquist-Index in mittlere jährliche Veränderungen umzurechnen, wird die folgende Formel verwendet: 110
(27)
Diese Formel kommt zur Anwendung, da es sich bei dem Malmquist-Index ursprünglich um multiplikative Verknüpfungen handelt, die Wachstumsfaktoren entsprechen.111
Schließlich sind die Vorteile des Malmquist-Index vielfältig. Es müssen weder Informationen zu den Faktorpreisen noch neutraler technischer Fortschritt (Produktivitätsveränderung) wie im Falle der Cobb-Douglas Produktionsfunktion vorliegen. Folglich müssen keine konstanten Skalenerträge und keine vollständige Konkurrenz angenommen werden. Es werden somit keine Annahmen über das Wettbewerbsverhalten der Wirtschaftssubjekte getroffen. Überdies kann die Veränderung der Produktivität in eine Effizienzveränderung sowie in technischen Fortschritt zerlegt werden. Jedoch hat die Verwendung der dynamischen DEA auch Nachteile. So wird nur die Frontierfunktion der Stichprobe als Effizienzmaßstab herangezogen, wobei nicht gesagt ist, ob die untersuchten DMU’s auch tatsächlich effizient produzieren. 112 Zudem kann allen DMU’s lediglich die gleiche Produktionsfunktion zuerkannt werden.
Die Berechnung des Malmquist-Index für die westdeutschen Bundesländer hat zu den folgenden Ergebnissen geführt.113
Tabelle 21 Durchschnittliche jährliche Veränderung des Malmquist-Index der Bundesländer in Prozent Quelle: Eigene Berechnungen auf Basis von Tabelle 79 im Anhang.
110 Vgl. das geometrische Mittel: (multipliziert mit 100, d. h. Angaben in Prozent). Das geometrische Mittel wird bei Mittelung von Wachstumsraten oder multiplikativen Verknüpfungen verwendet.
111 Vgl. Jungmittag (2007), S. 156.
112 Vgl. Krüger (2000), S. 109 f.
113 An dieser Stelle danke ich vielmals Andreas Kleine für die Unterstützung bei der Berechnung des Malmquist-Index in LINGO.
(multipliziert mit 100, d. h. Angaben in Prozent).
Das geometrische Mittel wird bei Mittelung von Wachstumsraten oder multiplikativen Ver-knüpfungen verwendet.
111 Vgl. Jungmittag (2007), S. 156.
112 Vgl. Krüger (2000), S. 109 f.
113 An dieser Stelle danke ich vielmals Andreas Kleine für die Unterstützung bei der Berechnung des Malmquist-Index in LINGO.
Tabelle 21 Durchschnittliche jährliche Veränderung des Malmquist-Index der Bundes-länder in Prozent
BW BA BE HB HH HE NS NRW RP SA SH
ΔMalm (1951-60) 8,60 8,62 6,94 5,53 4,08 8,55 8,35 7,10 9,60 5,76 7,33 ΔMalm (1961-70) 5,90 5,57 6,03 4,70 5,24 5,17 5,13 5,61 6,15 3,64 5,86 ΔMalm (1971-80) 3,64 3,99 3,76 3,33 3,62 4,40 3,88 2,89 3,50 4,39 3,20 ΔMalm (1981-90) 2,56 2,44 1,91 2,18 2,64 2,98 2,15 1,83 2,34 2,38 2,05 Quelle: Eigene Berechnungen auf Basis von Tabelle 79 im Anhang.
Prozent. In den folgenden Dekaden sind die Wachstumsraten des Malmquist-Index immer weiter gesunken. Dieses Ergebnis ist der Berechnung der mittleren Wachs-tumsraten der totalen Faktorproduktivität (bei gemeinsamer Produktionsfunktion) sehr ähnlich, wobei die jährliche Veränderung des Malmquist-Index tendenziell höher ausfällt. In den 1960er Jahren hatten Rheinland-Pfalz die höchste und das Saarland die niedrigste Wachstumsrate des Malmquist-Index. In der dritten Deka-de konnte Hessen die höchste und Nordrhein-Westfalen die niedrigste Wachstums-rate realisieren. In den 1980er Jahren fiel die WachstumsWachstums-rate des Malmquist-Index abermals in Hessen am höchsten und in Nordrhein-Westfalen am niedrigsten aus.
Viel interessanter als Wachstumsraten ist im Rahmen dieser Untersuchung die Entwicklung der Produktivitätsniveaus der Bundesländer. Hierfür wird die Ver-änderung der Produktivität von Jahr zu Jahr, die durch den Malmquist-Index wie-dergegeben wird, mit der folgenden Formel zu Produktivitätsniveaus kumuliert.
(28) MalmiDi1950
xi1950,yi1950
Mitt1951 t1990
Zur Berechnung der Produktivitätsniveaus der Bundesländer wird die relative Effizienz aus dem Basisjahr 1950 als Ausgangsniveau genommen und mit dem Malmquist-Index der folgenden Jahre multipliziert. Das Ergebnis dieser Berech-nung gibt die folgende Abbildung wieder. Die Produktivitätsniveaus der Bundes-länder, die nun mit Hilfe des Malmquist-Index berechnet wurden, zeigen eine sehr ähnliche Entwicklung wie die totale Faktorproduktivität bei gemeinsamer Produktionsfunktion im vorherigen Abschnitt.
Die Produktivitätsniveaus auf Basis des Malmquist-Index zeigen ebenfalls eine zweigeteilte Entwicklung. Einer Phase der Angleichung bis Mitte der 1960er Jahre folgt eine Phase ohne größere Veränderungen zwischen den Produktivitäts-niveaus der Bundesländer.
Es ist jedoch anzumerken, dass für das Saarland die fehlende Werte der Net-towertschöpfung zwischen 1950 und 1955 geschätzt werden mussten. Dies war notwendig, da das Saarland nur in die Berechnung des Produktivitätsniveaus mit
Tabelle 21 Durchschnittliche jährliche Veränderung des Malmquist-Index der Bundes-länder in Prozent
BW BA BE HB HH HE NS NRW RP SA SH
ΔMalm (1951-60) 8,60 8,62 6,94 5,53 4,08 8,55 8,35 7,10 9,60 5,76 7,33 ΔMalm (1961-70) 5,90 5,57 6,03 4,70 5,24 5,17 5,13 5,61 6,15 3,64 5,86 ΔMalm (1971-80) 3,64 3,99 3,76 3,33 3,62 4,40 3,88 2,89 3,50 4,39 3,20 ΔMalm (1981-90) 2,56 2,44 1,91 2,18 2,64 2,98 2,15 1,83 2,34 2,38 2,05 Quelle: Eigene Berechnungen auf Basis von Tabelle 79 im Anhang.
Prozent. In den folgenden Dekaden sind die Wachstumsraten des Malmquist-Index immer weiter gesunken. Dieses Ergebnis ist der Berechnung der mittleren Wachs-tumsraten der totalen Faktorproduktivität (bei gemeinsamer Produktionsfunktion) sehr ähnlich, wobei die jährliche Veränderung des Malmquist-Index tendenziell höher ausfällt. In den 1960er Jahren hatten Rheinland-Pfalz die höchste und das Saarland die niedrigste Wachstumsrate des Malmquist-Index. In der dritten Deka-de konnte Hessen die höchste und Nordrhein-Westfalen die niedrigste Wachstums-rate realisieren. In den 1980er Jahren fiel die WachstumsWachstums-rate des Malmquist-Index abermals in Hessen am höchsten und in Nordrhein-Westfalen am niedrigsten aus.
Viel interessanter als Wachstumsraten ist im Rahmen dieser Untersuchung die Entwicklung der Produktivitätsniveaus der Bundesländer. Hierfür wird die Ver-änderung der Produktivität von Jahr zu Jahr, die durch den Malmquist-Index wie-dergegeben wird, mit der folgenden Formel zu Produktivitätsniveaus kumuliert.
(28) MalmiDi1950
xi1950,yi1950
Mitt1951 t1990
Zur Berechnung der Produktivitätsniveaus der Bundesländer wird die relative Effizienz aus dem Basisjahr 1950 als Ausgangsniveau genommen und mit dem Malmquist-Index der folgenden Jahre multipliziert. Das Ergebnis dieser Berech-nung gibt die folgende Abbildung wieder. Die Produktivitätsniveaus der Bundes-länder, die nun mit Hilfe des Malmquist-Index berechnet wurden, zeigen eine sehr ähnliche Entwicklung wie die totale Faktorproduktivität bei gemeinsamer Produktionsfunktion im vorherigen Abschnitt.
Die Produktivitätsniveaus auf Basis des Malmquist-Index zeigen ebenfalls eine zweigeteilte Entwicklung. Einer Phase der Angleichung bis Mitte der 1960er Jahre folgt eine Phase ohne größere Veränderungen zwischen den Produktivitäts-niveaus der Bundesländer.
Es ist jedoch anzumerken, dass für das Saarland die fehlende Werte der Net-towertschöpfung zwischen 1950 und 1955 geschätzt werden mussten. Dies war notwendig, da das Saarland nur in die Berechnung des Produktivitätsniveaus mit
Abbildung 24 Produktivitätsniveaus auf Basis des Malmquist-Index der Bundesländer von 1950 bis 1990, (HH=100)
Quelle: Eigene Berechnungen auf Basis von Tabelle 80 im Anhang.
Hilfe des Malmquist-Index integriert werden konnte, wenn auch ein Wert für die relative Effizienz des Basisjahres 1950 berechnet werden konnte. Hierzu wurde die folgende Schätzmethode angewendet
Dementsprechend ergibt sich der gesuchte Wert xt im Jahr t aus dem Wert des Jahres t+1 abzüglich der Veränderung des Wertes xt+1 zum Jahr t+2. Es wurde folglich die Wachstumsrate zwischen den Perioden t+1 und t+2 ebenfalls für die Periode t und t+1 angenommen. Die Tatsache, dass eine Schätzung vorgenom-men werden musste, stellt folglich einen Nachteil dieser Berechnungsmethode der Produktivitätsniveaus dar.