5.3 Zur Didaktik und Methodik des Unterrichts
5.3.2 Der Begriff „Beschleunigung“
Da der physikalische Beschleunigungsbegriff
lim0 abstrakt und komplex ist, ist es sinnvoll zunächst eine Elementarisierung vorzunehmen. Im konventionellen Unterricht wird des-halb häufig als Elementarisierung nur die Beschleunigung bei eindimensionalen Bewegungen in positive Richtung betrachtet
= ∆lim→0 , so dass Beschleunigung Schnellerwerden und nega-tive Beschleunigung Langsamerwerden bedeutet und Fehlvorstellungen entstehen. Diese Element-arisierung erfüllt aber nicht die Forderung nach „Erweiterbarkeit“ (Kircher et al., 2000, S. 101): Bei
die Durchschnittsschnelligkeit 30 m/s. Für die im Zeitintervall zurückgelegte Weglänge s gilt: s= vGmittel⋅∆t
, wobei s das Wegintegral =
∫
= Zielort∫
Startort
der Behandlung der Beschleunigung beim waagrechten Wurf oder der Kreisbewegung kommt es zum Bruch. In dem hier vorgestellten Konzept wird dagegen als Elementarisierung die Geschwin-digkeitsänderung betrachtet, was fachlich erweiterbar ist. Außerdem werden hier Grenzprozesse nicht betont und zunächst eine Darstellung vektorieller Größen mit Pfeilen benutzt (Kircher et al., 2000, S. 114).
Um unter anderem Schüler beim einführenden Unterricht über Kinematik/Dynamik nicht durch Begriffe und Vorstellungen aus der Statik zu belasten, hat WODZINSKI (1996) in ihrer Dissertation einen Mechanikkurs für die Sekundarstufe I mit Zugang über die Dynamik konzipiert und in klei-nem Rahmen in einer Klasse erprobt. Ein wichtiges Ziel war auch hier, bei den Schülern qualitative Vorstellungen über den vektoriellen Zusammenhang von Kraft FG
und Geschwindigkeitsänderung vG
∆ aufzubauen. Dazu wurde einführend der senkrechte bzw. seitliche Stoß auf eine rollende Kugel analysiert und über Plausibilitätsbetrachtungen die newtonsche Bewegungsgleichung in der Form
v
⋅ erarbeitet. Dadurch konnte auf den sonst zentralen Beschleunigungsbegriff verzichtet und stattdessen mit der Geschwindigkeitsänderung gearbeitet werden, auf die die Schüler über den sich ändernden Geschwindigkeitspfeil einen recht direkten Zugang hatten, da der Geschwindig-keitspfeil längs der Bewegung für charakteristische Situationen per Hand mit eingezeichnet wurde.
Dieses Konzept geht auf einen Vorschlag von JUNG zurück (Jung, 1980b, S. 30 – 59). Dort wird zuerst mit der Zusatzgeschwindigkeit vG
∆ , die in der Ebene in eine andere Richtung als vG
gehen kann, die Größe Stoß=m⋅∆vGeingeführt und dann die Stoßrate (= Kraft) definiert: FG =m∆⋅∆tvK
. Die Einführung von Stoß und Stoßrate erwies sich im Unterricht als umständlich und für Schüler nur schwer nachvollziehbar. WIESNER ging dann einige Jahre später dazu über, die newtonsche Bewe-gungsgleichung in der Form FG t m vG
∆
⋅
=
∆
⋅ über Plausibiltätserklärungen einzuführen (Spill, Wies-ner, 1988, S. 414). Wie WODZINSKI zeigte, ist dies ein geeignetes Vorgehen für den Anfangsunter-richt in der Sekundarstufe I (Wodzinski, 1996).
In einem Kinematikunterricht in der Sek. II will man aber sicher nicht auf die Behand-lung des Beschleunigungsbegriffes verzich-ten. Schon bei der Einführung der Beschleu-nigung ist es hier wie bei der Geschwindig-keit sinnvoll, von einer allgemeinen zweidi-mensionalen Bewegung auszugehen, um den Vektorcharakter immer wieder überzeugend darstellen zu können. Die eindimensionale beschleunigte Bewegung wird dann später als Spezialfall behandelt. Die Betrachtung läuft dabei analog zur Einführung des Ge-schwindigkeitsvektors: Die Änderung des Geschwindigkeitsvektors in einem
Zeitinter-vall ∆t wird nun mit einem zusätzlichen Ge- Abb. 5.3: Entstehung des Geschwindigkeitsänderungs-vektors
schwindigkeitsänderungsvektor vG
∆ deutlich gemacht, der angibt, was an Geschwindig-keit „dazukam“ (siehe Abb. 5.3). Es gilt also
neu
alt v v
vK +∆G=K oder ∆vG=vGneu −vGalt. Die Länge dieses Vektors hängt wieder vom ge-wählten Zeitintervall ∆t ab. Dividiert man den Geschwindigkeitsänderungsvektor durch das Zeitintervall, erhält man einen Vektor, der unabhängig von ∆t etwas über die Ände-rung des Geschwindigkeitsvektors aussagt.
(Man könnte, um die Analogie zur Einfüh-rung der Geschwindigkeit als OrtsändeEinfüh-rung deutlich zu machen, von der „Änderungsge-schwindigkeit des Ge„Änderungsge-schwindigkeitsvektors“
sprechen (Bambey et al., 1980, S. MD 9).) Das Ergebnis ist der Vektor der Durch-schnittsbeschleunigung aG=∆vG/∆t
(siehe Abb. 5.4). Einen Vektor für die Momentanbeschleuni-gung erhält man näherungsweise für kleine ∆t.
Dieses Vorgehen, aG
zu bestimmen, ist natürlich nichts weiter als die Umsetzung der Definition des Beschleunigungsvektors in Operations- bzw. Konstruktionsschritte.6 Wie wichtig diese Fähigkeit für das Verständnis des Beschleunigungsbegriffes ist, haben LABUDDE, REIF und QUINN (1988) gezeigt: Nachdem mit sechs Studenten nach dem normalen Physikvorlesung im kurzen Individual-unterricht (20 – 25 Minuten) die zum Beschleunigungskonzept gehörigen Prozeduren erarbeitet wurden, konnten die Studenten auch nach ein paar Tagen Problemsituationen, wie sie sich z.B. aus Bewegungen in Abb. 5.7 ergeben, fast immer (95 %) korrekt lösen (im Vortest 40 %). Das Lang-zeitverhalten wurde in dieser Studie nicht weiter untersucht.
Die Schritte zur Konstruktion von vG
bzw. aG
sollen nicht nur vom Lehrer und Computer durchge-führt werden, sondern die Schüler sollen selbst solche Konstruktionen durchführen, um graphisch die Pfeile zu erhalten (siehe Arbeitsblätter auf CD im Anhang oder Wilhelm, Koch, 2004, S. 34 f.) (andere Aufgaben: Wodzinski, Wiesner, 1994b, S. 204). Darüber hinaus sollten die Schüler auch einmal aus den Ortsdaten (einer ein- bzw. zweidimensionalen Bewegung) die Geschwindigkeits- und Beschleunigungswerte gemäß x→∆x→v→∆v→a berechnen (siehe Arbeitsblätter auf CD im Anhang).
Betrachtet man nun auf diese Weise eine eindimensionale Bewegung, stellt man fest, dass die Vek-toren vG
und aG
genau dann die gleiche Richtung haben, wenn die Bewegung schneller wird, und entgegengesetzt gerichtet sind, wenn die Bewegung langsamer wird (siehe Abb. 5.5). Ist ein Koor-dinatensystem gegeben, ergibt sich daraus, dass vG
und aG
genau dann das gleiche Vorzeichen
6 Entsprechende Konstruktionsprozeduren setzt REIF anhand von Zeichnungen auch in Lehrbüchern zur Mechanik (Reif, 1995, S. 31) ein (siehe auch Reif, 1985, S. 137).
Abb. 5.4: Geschwindigkeit und Beschleunigung bei einer Bewegung, die erst schneller, dann langsamer wird
ben, wenn die Bewegung schneller wird, und verschiedene Vorzeichen haben, wenn die Bewegung langsamer wird (siehe Abb. 5.6) (Wilhelm, 1994, S. 177 ff.). Des Weiteren stellt man fest, dass dann, wenn vG
und aG immer senkrecht zueinander sind, die Bewe-gung auf einem Kreis mit konstantem Ge-schwindigkeitsbetrag bzw. konstanter Schnelligkeit stattfindet.
Fährt man nun mit der PC-Maus beliebig auf dem Versuchstisch umher, sieht man, dass vG und aG
weder in gleiche oder in entgegenge-setzte Richtung weisen noch senkrecht zu-einander sind (Abb. 5.4). Jedoch kann man den Beschleunigungsvektor aG
in einen senk-rechten Anteil aGn
(Normalbeschleunigung) und einen tangentialen AnteilaGt
(Tangenti-albeschleunigung) zerlegen und es ist den Schülern schnell klar, dass der senkrechte Anteil aGn
für die Richtungsänderung und somit die Kurvenfahrt verantwortlich ist, während der tangentiale AnteilaGt
die Ände-rung der Schnelligkeit bewirkt.
Das hier beschriebene Vorgehen zur
Erarbei-tung des Beschleunigungsbegriffes, das analog zur ErarbeiErarbei-tung des Geschwindigkeitsbegriffes läuft, ist eine anschauliche Konstruktion. Entscheidend dabei ist, dass ein Teilschritt der Konstruktion schon wichtige Informationen erhält: Der Geschwindigkeitsänderungsvektor ∆vG enthält schon die Richtung des Beschleunigungsvektors aG
und die Längen dieser Vektoren sind bei festem Zeitinter-vall ∆t proportional. Für viele konkrete Aufgaben bedeutet das, dass es bei der Ermittlung der Be-schleunigungsrichtung genügt, sich zu überlegen, wie die Geschwindigkeitsänderung ∆vG aussieht.
Dazu genügt es ein vG_alt
und einvG_neu
zu zeichnen und man erhält so den ∆vG-Vektor und damit die Beschleunigungsrichtung (Beispiel: Ein Wagen fährt eine schiefe Ebene hinauf. Der nach links gerichtete vG
-Vektor wird kürzer, ∆vG ist nach rechts gerichtet und damit auch die Beschleunigung.
Das Vorzeichen der Beschleunigung hängt von der Wahl des Koordinatensystems ab). Ableitungen bzw. Ratengrößen wie dx/dt und dv/dt sind dagegen für Schüler schwer zu verstehen, da sie recht abstrakt sind. Im konventionellen Vorgehen wird für Schüler nicht deutlich, warum der Alltagsbeg-riff „Beschleunigung“ im Sinne von „Schnellerwerden“ auch auf sein Gegenteil
„Langsamerwer-Abb. 5.6: Vorzeichen von v und a Abb. 5.5: Lage von vG
und dvG =aG⋅dt
zueinander beim Schneller- und Langsamerwerden
den“ erweitert wird. Die hier durchgeführte Erweiterung auf „Geschwindigkeitsänderung pro Zeit“
ist dagegen allgemeiner und leichter einzusehen.
Die folgende Frage ist bei der Erstellung der PAKMA-„Projekte“ bezüglich der richtigen örtlichen Zuordnung von Orts-, Geschwindigkeits- und Beschleunigungsvektor zu klären: Möchte man die Konstruktion betonen oder immer zum gleichen Zeitpunkt am momentanen Ort alle Größen als Pfeile sehen? Liegt zu einem Zeitpunkt t1 der Ortsvektor xG1
und nach dem Zeitintervall ∆t zum Zeitpunkt t2 der Ortsvektor xG2
vor, kann man daraus den Ortsänderungsvektor und den (mittleren) Geschwindigkeitsvektor berechnen, der zu diesem Zeitintervall ∆t gehört. Sinnvollerweise zeichnet man ihn an die Bahnkurve und zwar ungefähr in die Mitte des Zeitintervalls zwischen xG1
und xG2 . Hat man außer diesem Geschwindigkeitsvektor noch denjenigen aus dem vorherigen Intervall, kann man daraus den Geschwindigkeitsänderungsvektor und damit den Beschleunigungsvektor berech-nen. Sinnvollerweise zeichnet man ihn an die Bahnkurve und zwar ungefähr in die Mitte zwischen die beiden Geschwindigkeitsvektoren, also bei xG1
. Damit sind die drei ermittelten Vektoren xG , vG
, und aG
gegeneinander verschoben (siehe Abb. 5.4). Möchte man aber im anderen Fall zu jedem be-trachteten Zeitpunkt zwei Größen (xG
und vG
bzw. vG
und aG
) oder alle drei Größen als Pfeile sehen, muss man im PAKMA-Kernprogramm jeweils die betrachteten Intervalle unterschiedlich und rich-tig wählen. Welche der beiden Varianten man wählt, hängt vom Ziel ab, das man mit der Darstel-lung verfolgt. Die Problematik wird im Unterricht jedoch nicht thematisiert, sollte aber dem Lehrer bewusst sein, damit er angemessen reagiert, wenn sehr gute Schüler darauf aufmerksam werden.
In dem Unterrichtsgang wird also von Anfang an das Allgemeingültige in den Vordergrund gestellt und behandelt und erst später Spezialfälle betrachtet. Durch dieses Vorgehen werden die Defini-tionsgleichungen vG=∆xG/∆t
und aG=∆vG/∆t
betont, die bei herkömmlichem Vorgehen nur wenig Beachtung finden. Schon aus Zeitgründen wird dagegen das Rechnen mit den Bewegungsfunktio-nen7, die nur für Spezialfälle gelten, nicht
in den Vordergrund gestellt.
Wie unter 4.2.2 bereits erläutert, ist die häufige Überbetonung von Rechen- und Einsetzaufgaben nicht sinnvoll. Qualitative Aufgaben sind entscheidend für das Verständnis; letzteres ist wichtiger als die Fähigkeit, physikalische Formeln zu kombinieren. Mit solchen qualitativen Aufgaben können auch Alltagsvorstel-lungen bewusst aufgegriffen und physika-lisch hinterfragt werden. Das hier
7 Der nicht eindeutige Begriff „Bewegungsgleichung“ wird vermieden, da er sowohl für die Bewegungsdifferentialglei-chungen als auch für deren Lösung benutzt wird. Die Lösungen der BewegungsdifferentialgleiBewegungsdifferentialglei-chungen werden des-halb hier „Bewegungsfunktionen“ genannt.
Abb. 5.7: Eine qualitative Aufgabe zum Beschleunigungsvek-tor
schriebene Vorgehen ermöglicht diverse qualitative Aufgaben. Eine solche quali-tative Aufgabe zum Beschleunigungsbe-griff ist in Abb. 5.7 zu sehen, bei der die Richtung des Beschleunigungsvektors an-gegeben werden soll. Umgekehrt kann man auch die Bewegungsrichtung und
Beschleunigungsvektoren vorgegeben und eine Beschreibung der Bewegung verlangen (siehe Abb.
5.8).
In dem hier entworfenen Konzept wird die Beschleunigung erst qualitativ an einer zweidimensiona-len Bewegung eingeführt und analysiert. Dann werden diverse qualitative Aufgaben zur Be-schleunigung behandelt, die auf Kosten quantitativer Aufgaben durchgeführt werden. Erst jetzt nach der Festigung des Begriffs werden die Bewegungsfunktionen für den Spezialfall einer geradlinigen Bewegung mit konstanter Beschleunigung behandelt und einige quantitative Aufgaben dazu gelöst.
Bei diesen Aufgaben sollte - wo immer möglich - die zurückgelegte Weglänge bzw. der Ort als Fläche unter dem t-v-Graphen berechnet werden. Das ist ein einfaches und vor allem allgemeingül-tiges Verfahren, während die Bewegungsfunktionen nur für besondere Spezialfälle gelten. Die ausführliche, quantitative Behandlung vieler anspruchsvoller Aufgaben zum Überholvorgang ist in diesem Unterrichtskonzept nicht vorgesehen, da die Unterrichtszeit zum Aufbau qualitativen Verständnisses gebraucht wird. Aufgrund der verkehrserzieherischen Relevanz wird ein einfaches Beispiel behandelt.
Da die Vorstellungen der Schüler den physikalischen Vorstellungen i.A. widersprechen, genügt es nicht, sich nur anzuhören, wie es die Physik sieht. Man muss sich intensiv damit auseinandersetzen und Erfahrungen damit sammeln. Deshalb sind hier Schülerübungen besonders hilfreich. Der in diesem Kapitel beschriebene Unterrichtsgang ist zwar im normalen Klassenunterricht möglich.
Noch effizienter ist es aber, wenn die Schüler im Computerraum selbst Experimente mit der Maus zur zweidimensionalen Bewegung durchführen, was leicht realisierbar ist (Reusch, Gößwein, Kah-mann, Heuer, 2000a, S. 270 f.). Dabei können alle zur Erarbeitung der Begriffe und Zusammenhän-ge Zusammenhän-genutzten Messprogramme (z.B. Abb. 5.1 bis 5.4) von den Schülern erneut verwendet werden.
Außerdem stehen noch zwei PAKMA-Simulationen zur Verfügung, die bewusst auf die Spielbe-geisterung (Computerspiele mit Wettbewerbscharakter) der Schüler bauen, um auf diese Weise eine intensive Auseinandersetzung mit dem Thema zu erreichen. Man wird bei diesen Beispielen näm-lich feststellen, dass Probieren nicht zum Ziel führt, sondern dass man sich von der Physik her Problemlösestrategien überlegen muss. Im einen Simulationsprogramm geht es noch einmal um das Verständnis der Beschleunigung. Eine Rakete soll innerhalb von 60 Sekunden auf der Mondober-fläche mit einem Geschwindigkeitsbetrag von weniger als 10 m/s landen und zur Veränderung der Geschwindigkeit steht im Simulationsprogramm der Schieber „Beschleunigung“ zur Verfügung.
Hier wird sehr schnell deutlich, ob die Schüler meinen, über den Schieber „Beschleunigung“ direkt die Geschwindigkeit vorgeben zu können oder ob ihnen die Bedeutung der Beschleunigung als Ge-schwindigkeitsänderung klar ist. Intuitiv wird häufig als erstes der Schieber „Beschleunigung“ wie
Abb. 5.8: Eine weitere qualitative Aufgabe
ein Geschwindigkeits-Schieber verwendet, was eindrücklich zur Bruchlandung der Rakete auf der Mondoberfläche führt. Mit einer guten Strategie kann der angegebene Landerekord leicht verbessert werden. In dem zweiten Beispiel zum Überholen wird ebenfalls ein Verständnis der Beschleuni-gung verlangt und außerdem etwas zur Verkehrserziehung unternommen. Das Simulationspro-gramm ist so eingestellt, dass ohne eine Veränderung der Startwerte und ohne Überschreitung der Höchstgeschwindigkeit von 100 km/h ein Überholvorgang nicht möglich ist.
Häufig wird in der Kinematik auch der freie Fall behandelt, da man hier eines der wenigen Beispie-le hat, bei dem wirklich eine eindimensionaBeispie-le Bewegung mit konstanter BeschBeispie-leunigung auftritt. Es ist aber nicht sinnvoll hier nur den idealisierten Vorgang zu behandeln. Schüler wissen, dass nicht alle Körper gleich fallen, sondern schwere Dinge bei sonst gleichen Eigenschaften schneller fallen als leichte. Sie interessieren sich nicht für Bewegungen in evakuierten Fallröhren bzw. auf dem Mond, sondern für reale Fallbewegungen mit Luftwiderstand, die erst bei der Dynamik behandelt werden können. Deshalb ist es sinnvoll, alle Fallbewegungen einschließlich des freien Falls erst als Anwendung der newtonschen Gesetze zu behandeln.
Stunde Inhalt, Thema:
1 - 3
Unterschied Weg - Ort (Fahrradbewegung mit Tachometer), Maus als zweidimensionaler Sensor,
Bezugssystem, Bahnkurve, Zeitmarken, Ortsvektor (2-dimensional), Einschub: Wiederholung Vektorrechnung,
Ortsänderungsvektor (2-dimensional), Geschwindigkeitsvektor (2-dimensional), Durchschnitts- und Momentangeschwindigkeit,
1-dimensional mit Sonarmeter: Orts-, Ortsveränderungs- und Geschwindigkeitsvektor 4 Zeit-Ort-Funktion für Spezialfälle konstanter Geschwindigkeit (1-dimensional) 5 Übung, Geschwindigkeitsänderungsvektoren (2-dimensional)
Additum 1Schülerübung im Computerraum
6 Der Begriff des Beschleunigungsvektors (2-dimensional und 1-dimensional) 7 Lage von vG
und aG
zueinander (schneller, langsamer, Kreis), Normal- und Tangentialbeschleunigung
8 Übung Lernziel-
kontrolle 1. Stegreifaufgabe zur Beschleunigung und Verbesserung
9 Einführung in Modellbildung, Modellbildung zur Kinematik mit Graphenvorhersage 10 Zeit-Geschwindigkeits-Funktion für 1-dimensionale Bewegungen,
Ort im Zeit-Geschwindigkeitsdiagramm,
Bewegungsfunktionen ohne Anfangsgeschwindigkeit,
11 Übung, Bewegungsfunktionen und Bewegungsdiagramme mit Anfangsgeschwindigkeit 12 Übung
13 Übung, Reaktions- und Bremsweg
14 Überholvorgänge, Verhalten im Straßenverkehr Additum 2Schülerübung im Computerraum
Tab. 5.1: Grobstruktur des Kinematikunterrichts
Das hier beschriebene Unterrichtskonzept, bei dem der Kinematikunterricht mit der zweidimensio-nalen Bewegung begann, wurde im Schuljahr 2001/2002 vom Autor in einer Klasse getestet. Eine knappe Übersicht über die Grobstruktur des Unterrichts gibt Tab. 5.1. Eine Angabe von Lernzielen oder Medien ist aus Platzgründen nicht möglich. Für die Einführung und Diskussion der Begriffe nach dem hier dargestellten Vorgehen sowie der Behandlung qualitativer Aufgaben wurden acht
Unterrichtsstunden benötigt. Für die anschließende Herleitung der eindimensionalen Bewegungs-funktionen, für das quantitative Rechnen damit und für eine Verkehrserziehung durch Behandlung von Bremswegen und Überholvorgängen wurden nochmals fünf Unterrichtsstunden verwendet.