Capital Asset Pricing Model

Grundlage für das CAPM ist die Portfolio Selection-Theory von MARKOWITZ,180 die die Vor-teilhaftigkeit der Mischung von Investitionsvorhaben unter Risikogesichtspunkten untersucht und als normative Theorie bei gegebenen Erwartungen auf der Basis der individuellen Risi-kopräferenz eines Investors Handlungsempfehlungen für die effiziente Strukturierung eines Wertpapierportfolios postuliert.181 Im folgenden wird angenommen, daß Investoren risiko-avers sind und sich rational, d. h. erwartungsnutzenmaximierend, in dem Sinne verhalten, daß sie effiziente Portfolios182 ineffizienten vorziehen, d. h., bei gleichem Risiko präferieren Anle-ger ein Portfolio mit höherer erwarteter Rendite bzw. wählen bei gleicher Rendite eine Positi-on mit niedrigerem Risiko.183 Investoren treffen ihre Anlageentscheidungen auf der Grundlage

175 Vgl. Wenger, Theorie, S. 167.

176 Auf eine Darstellung von traditionellen Methoden zur Bestimmung der Renditeforderung der Eigentümer wird verzichtet. Weiterführend dazu z. B. Brealey/Myers, Finance, pp. 5 9 - 7 3 ; Hachmeister, Untemehmens-wertsteigerung, S. 158-162; Hax, Investitionstheorie, S. 153 ff.; Rudolph. Klassische Kapitalkostenkonzepte, S. 611-614.

177 Vgl. Franke/Hax, Finanzwirtschaft, S. 345.

178 Vgl. Sharpe, Equilibrium, pp. 4 2 5 - t 4 2 ; Lintner, Valuation, pp. 13-37; Mossin, Equilibrium, pp. 768-783.

Für eine Darstellung und Diskussion der Ansätze siehe Rudolph, Kapitalkosten, S. 84-125.

179 Vgl. Ross, Arbitrage Theory, pp. 341-360.

180 Grundlegend dazu vgl. Markowitz, Selection, pp. 77-91; Markowitz, Efficient Diversification. Für eine Dar-stellung und Herleitung der Aussagen der Portfolio Selection siehe z. B. Brealey/Myers, Finance, pp. 148-166; Copeland/Weston, Theory, pp. 144-188; Drukarczyk, Theorie, S. 2 2 5 - 2 3 3 ; Elton/Gruber, Theory, pp. 4 6 9 5 ; Franke/Hax, Finanzwirtschaft, S. 309323; Schmidt/Terberger, Finanzierungstheorie, S. 3 1 1 -338; Spremann, Investition, S. 499-526.

181 Vgl. Markowitz, Efficient Diversification, pp. 3 - 7 . Vgl. auch Rudolph, Kapitalkosten, S. 1-3.

182 Zur Ermittlung eines effizienten Portfolios siehe Markowitz, Efficient Diversification, pp. 129-187. Vgl.

Sharpe, Theory, pp. 58-73.

183 Vgl. Markowitz, Efficient Diversification, pp. 6 f. und pp. 129 f. Zu den Annahmen des CAPM vgl.

Copeland/W eston, Theory, p. 194; Drukarczyk. Theorie, S. 226; Elton/Gruber, Theory, pp. 294 ff.;

Hachmei-des Erwartungswertes der Rendite184 E[rj] = (ji) und dem Risiko des Wertpapiers, das als Streuung der möglichen Renditen um den Erwartungswert185 a bzw. a2 gemessen wird.186 In-vestoren verfugen auf einem vollkommenen und informationseffizienten187 Kapitalmarkt über kostenlose Informationen. Auf dem sich im Gleichgewicht befindenden Kapitalmarkt können Investoren unbeschränkt Kapital zum im Betrachtungszeitraum konstanten, risikolosen Zins-satz i aufnehmen und anlegen. Sie können femer beliebig teilbare Wertpapiere als Mengenan-passer ohne Transaktionskosten und Steuern handeln und unbeschränkt Leerverkäufe tätigen.

Die Entscheidung des Investors bezieht sich auf eine Periode, d. h., das hier zu untersuchende Kalkül versucht zu klären, wie ein Investor im Zeitpunkt t eine (|a,a)-effiziente Anlageent-scheidung bei Erwartungen über Ausschüttungen und Aktienkurse zum Zeitpunkt t+1 treffen kann.188

Bei Geltung dieser Annahmen wird ein Investor in mehrere Wertpapiere investieren, um eine Risikomischung zu erzielen.189 Dabei wird der Investor die Wertpapiere so auswählen, daß durch einen Diversifikationseffekt eine Verringerung des Portfoliorisikos im Vergleich zu der

ster, Unternehmenswertsteigerung, S. 162; Rudolph, Kapitalkosten, S. 4 - 7 ; Perridon/Steiner, Finanzwirt-schaft, S. 250; Schneider, Investition, S. 506 f.

184 Die Rendite eines Portfolios ergibt sich aus der linearen Kombination der erwarteten Renditen der im Portfo-lio enthaltenen Wertpapiere und deren wertmäßigen Anteil am PortfoPortfo-lio. Vgl. z. B. Markowitz, Selection, p. 78; Markowitz, Efficient Diversification, pp. 14-17 und pp. 3 7 - 7 1 ; Elton/Gruber, Theory, pp. 47 f.

185 Das Risiko eines Portfolios entspricht nur ausnahmsweise dem Durchschnittsrisiko der einzelnen Wertpapie-re, da über das durch die Varianz bzw. Standardabweichung erfaßte Einzelrisiko hinaus die stochastische Abhängigkeit der erwarteten Renditen zwischen den Wertpapieren berücksichtigt werden muß. Diese Ab-hängigkeit wird durch die Kovarianz oder den Korrelationskoeffizienten der Renditen gemessen. Vgl. Mar-kowitz, Selection, pp. 79 ff.; MarMar-kowitz, Efficient Diversification, pp. 17 ff. und pp. 7 2 - 1 0 1 ; Elton/Gruber, Theory, pp. 5 5 - 6 2 . Bei Vorliegen eines Korrelationskoeffizienten p < 1 kann durch Mischung der Wertpa-piere Risiko eliminiert werden. In einem Portfolio mit n WertpaWertpa-pieren bestehen n Varianzen und n2-n Kova-rianzen. Bei größere Anzahl von Wertpapieren bestimmen folglich vor allem die Kovarianzen der Wertpa-pierrenditen das Portfoliorisiko. Vgl. Markowitz, Efficient Diversification, pp. 109-112. Vgl. auch Dru-karczyk, Theorie, S. 2 2 6 - 2 3 0 ; Hax, Finanzierungstheorie, Sp. 1084.

186 Mit dieser Annahme werden quadratische Risikonutzenfunktionen oder eine Normalverteilung der Rendite unterstellt. Vgl. Drukarczyk, Theorie, S. 226; Gerke, Portefeuille-Theorie, Sp. 3267; Hachmeister, Unter-nehmenswertsteigerung, S. 163.

187 Fama unterscheidet drei Arten der Informationseffizienz: Sofern die Kurse von Aktien zu j e d e m Zeitpunkt sämtliche Informationen, die auf der Grundlage der technischen Aktienanalyse der historischen Kursverläufe gewonnen werden können, widerspiegeln, liegt Informationseffizienz der schwachen Form vor. Informati-onseffizienz der halbstrengen Form kann attestiert werden, wenn die fundamentale Analyse aller öffentlich zugänglichen Informationen in den Kursen der Aktien enthalten sind. Der Grenzfall der strengen Form der Informationseffizienz liegt vor, wenn alle existenten Informationen in den Kursen der Aktien eingeschlossen sind. Vgl. grundlegend dazu Fama, Efficient Capital Markets, pp. 383^117; Fama, Efficient Capital Markets:

II, pp. 1575-1617; Fama, Foundations, pp. 134-137. Empirisch ist die These der Informationseffizienz noch nicht hinreichend verifiziert. Vgl. Fama, Market, pp. 283-306. Vgl. zur These der Informationseffizienz auch Elton/Gruber, Theory, pp. 4 0 6 - 4 1 0 ; Möller, Informationseffizienz, S. 5 0 0 - 5 1 8 ; Müller, Aktienbewertung, S. 11-33; Schneider, Investition, S. 5 4 1 - 5 4 5 . Für einen Oberblick über empirische Studien zur Informations-effizienz des deutschen Kapitalmarktes siehe May, Informationsverarbeitung, S. 3 1 3 - 3 3 5 .

188 Vgl. Drukarczyk, Theorie, S. 226.

Gesamtheit der Einzelrisiken der Wertpapiere erzielt wird.190 Bei rationalem Verhalten wird der Anleger vor dem Hintergrund seines individuellen Grades der Risikoaversion nur ein effi-zientes Portfolio strukturieren, das alle anderen Kombinationsmöglichkeiten von Wertpapie-ren bei gegebener RisikopräfeWertpapie-renz oder bei gegebener Renditeerwartung in der Weise domi-niert, daß das gewählte Portfolio bei gleicher Standardabweichung einen höheren Erwar-tungswert oder bei gleichem ErwarErwar-tungswert eine niedrigere Standardabweichung aufweist.191

Alle möglichen effizienten Portfolios liegen im (^,a)-Raum, wie Abbildung 2 darstellt, auf einer hyperbelförmigen „efficient frontier", die so alle effizienten Kombinationsmöglichkei-ten von Wertpapieren graphisch abbildet.192

Rendite E[rp]=m> k

Kapitalmarktlinie

= effiziente Linie

E M Hyperbel effizienter

Portfolios

E M M

Hyperbel effizienter Portfolios

risikoloser Zinssatz i

• A

Risiko oP

Abbildung 2: Effiziente Portfolio- und Kapitalmarktlinie'93

TOBIN zeigt mit seinem Separationstheorem,194 daß bei Existenz einer risikolosen Anlage- und Verschuldungsmöglichkeit die Zusammensetzung des optimalen Portfolios unabhängig von der Risikoneigung des individuellen Investors ist. Der Investor wird zur Herstellung seiner gewünschten Risikoposition eine Kombination der Geldanlage bzw. Verschuldung zum siche-ren Zinssatz i und der Anlage in das risikobehaftete Tangentialportfolio M, das strukturgleich

189 Vgl. Schneider, Investition, S. 4 7 3 - 4 8 0 .

190 Vgl. Schmidt/Terberger, Finanzierungstheorie, S. 312 f.

191 Vgl. Franke/Hax, Finanzwirtschaft, S. 309-316.

192 Vgl. Sharpe, Equilibrium, pp. 4 2 5 - 4 4 2 . Vgl. auch Elton/Gruber, Theory, pp. 8 2 - 9 1 ; Rudolph, Theorie, S. 1040; Rudolph, Kapitalkosten, S. 3 7 - 4 3 ; Schmidt/Terberger, Finanzierungstheorie, S. 3 2 5 - 3 3 2 ; Spre-mann, Investition, S. 525. Zur Berechnung der Efficient Frontier vgl. Elton/Gruber, Theory, pp. 9 7 - 1 2 4 .

193 Vgl. z. B. Copeland/W eston, Theory, p. 196; Drukarczyk, Theorie, S. 235.

194 Vgl. Tobin, Preference, pp. 65-86. Vgl. auch Franke/Hax, Finanzwirtschaft, S. 3 1 6 - 3 1 9 ; Rudolph, Kapital-kosten, S. 47 -59; Rudolph, Separationstheoreme, S. 263 f.; Rudolph, Theorie, S. 1043; Schmidt/Terberger, Finanzierungstheorie, S. 3 3 2 - 3 3 8 ; Schneider, Investition, S. 493—496; Spremann, Investition, S. 5 2 6 - 5 3 0 .

zum effizienten Marktportfolio195 ist, wählen.196 Die Kombinationsmöglichkeiten des Investors liegen auf der Kapitalmarktlinie, die den linearen Zusammenhang zwischen der gewählten Risikomenge ap eines Portfolios P und der aus P zu erwartenden Rendite rp abbildet:197

Im Kapitalmarktgleichgewicht existiert demnach ein bestimmter, sich aus der erwarteten Rendite des Marktportfolios TM, der sicheren Verzinsung i und dem Risiko des Marktportfo-lios CTm zusammensetzender, markteinheitlicher Preis 0"m - i)/öM für eine Einheit des über-nommenen systematischen, d. h. durch weitere Diversifizierung nicht reduzierbaren Risi-kos.198 Da im Marktportfolio sämtliche Wertpapiere enthalten sind und einzelne Wertpapiere so als Relation zum Marktportfolio ausgedrückt werden können, kann nun auf der Grundlage der Kapitalmarktlinie die Renditeforderung von Investoren für ein einzelnes risikobehaftetes Wertpapier abgeleitet werden.199 Besteht ein Portfolio zu a Teilen aus einem einzelnen Wert-papier j und zu 1 - a Teilen aus dem Marktportfolio, ergeben sich Rendite und Risikoposition wie folgt:200

195 Das Tangentialportfolio eines Investors ergibt sich in der graphischen Darstellung der effizienten Portfolios in einem (n,cr)-Koordinatensystem als das alle anderen effizienten Portfolios dominierende Portfolio, das im Tangentialpunkt der von der Rendite des risikolosen Wertpapiers rf auf der fi-Achse ausgehenden Tangente an der Hyperbel effizienter Portfolios liegt. Nicht nur einzelne Investoren, sondern alle Investoren halten bei homogenen Erwartungen dem Tangentialportfolio strukturgleiche, effiziente Portfolios. Da sämtliche am Markt gehandelten risikobehafteten Wertpapiere einen Eigentümer haben müssen, sind im Tangentialportfo-lio auch sämtliche risikobehafteten Wertpapiere mit ihren Marktwertgewicht enthalten, so daß die aggre-gierten strukturgleichen Tangentialportfolios als Marktportfolios bezeichnet werden können. Tobin be-schreibt ein Tangentialportfolio als „a composite formed by combining the multitude of actual non-cash assets in fixed proportions". Tobin, Preference, p. 84. Sind alle Portfolios der Investoren effizient und befin-det sich der Kapitalmarkt im Gleichgewicht, ist das Marktportfolio ebenfalls effizient. Vgl. z. B. El-ton/Gruber, Theory, pp. 8 8 - 9 1 ; Perridon/Steiner, Finanzwirtschaft, S. 259.

196 Der Investor bestimmt seine Gesamtposition in zwei separaten Schritten. Zunächst wird unabhängig vom Grad der Risikoaversion des Investors das optimale Portfolio bestimmt. Danach legt der Anleger die Risi-komenge fest, indem er die Mittel auf die sichere Anlage und auf das optimale Portfolio verteilt bzw. zusätz-liche Mittel für Investitionen ins Portfolio aufnimmt. Vgl. Drukarczyk, Theorie, S. 233; Perridon/Steiner, Fi-nanzwirtschaft, S. 259; Schmidt/Terberger, Finanzierungstheorie, S. 3 3 2 - 3 3 8 .

197 Vgl. Elton/Gruber, Theory, pp. 296 f.; Rudolph, Kapitalkosten, S. 54; Rudolph, Theorie, S. 1045 ff.; Schnei-der, Investition, S. 5 0 7 - 5 1 1 ; Weber/Schiereck, Kapitalkosten, S. 136.

198 Vgl. Drukarczyk, Theorie, S. 235 f.; Elton/Gruber, Theory, p. 298; Perridon/Steiner, Finanzwirtschaft, S. 260 ff. Der Risikopreis stellt graphisch die Steigung der Kapitalmarktlinie dar. Vgl. Abbildung 2:

Effiziente Portfolio- und Kapitalmarktlinie, S. 32.

199 Vgl. Copeland/Weston, Theory, p. 195; Perridon/Steiner, Finanzwirtschaft, S. 263.

200 Die folgende Herleitung des C A P M geht auf Sharpe zurück. Vgl. Sharpe, Theory, pp. 7 7 1 0 3 insb. pp. 8 6 -91. Vgl. Copeland/Weston, Theory, p. 195; Perridon/Steiner, Finanzwirtschaft, S. 263; Schneider, Investition, S. 512 f. Das C A P M läßt sich auf vielfältige Weise herleiten. Drukarczyk und Elton/Gruber z. B.

argumentieren mit im Kapitalmarktgleichgewicht gleichen Risikopreisen; Elton/Gruber bieten einen weiteren Ansatz bei Nutzung von Arbitrageüberlegungen; Sharpe und Franke/Hax leiten das C A P M aus dem State-Preference-Ansatz her; Loistl verwendet einen Lagrange-Ansatz. Vgl. dazu Drukarczyk, Theorie, S. 2 3 6 ff.;

Elton/Gruber, Theory, pp. 2 9 8 - 3 0 4 ; Franke/Hax, Finanzwirtschaft, S. 3 7 8 - 3 8 2 ; Loistl, Kapitalmarkttheorie, S. 248 f.; Sharpe, Theory, pp. 2 0 2 - 2 2 0 .

f p => p

(5)

rp = ar; + (1 - a)rM bzw. ap = ^a2cr) + (1 - a)2 er) + 2a{\ -a)a. M (6) Wie im grundsätzlichen Fall zweier Wertpapiere kann der Investor entlang der Linie A M B in Abbildung 2 das Marktportfolio und das Wertpapier j kombinieren, wobei das Wertpapier j mit seinem Marktwert gewichtet ebenfalls im Marktportfolio enthalten ist. Zur Erfassung des Erwartungswerts der Rendite und der Risikoposition bei einer marginalen Veränderung von a auf der Linie A M B bildet man die partiellen Ableitungen SE[rP]/5a und Scrp/Sa.201 Werden die partiellen Ableitungen bei einem Nachfrageüberschuß von a = 0 bewertet,202 kann die Stei-gung des Rendite-/Risikokalküls im Kapitalmarktgleichgewicht im Punkt M bestimmt wer-den, die der Steigung der Kapitalmarktlinie im Punkt M entsprechen muß:²⁰³

dE[r^da E^]-E[r^M] E[r,]-r'

derP/da n=Q [a jM - o;, )/<rM

Durch Auflösung dieser Gleichung nach der erwarteten Rendite des Wertpapiers j ergibt sich die Wertpapierlinie, die darlegt, daß die risikoäquivalente Renditeforderung für jedes risiko-behaftete Wertpapier gleich der S u m m e von risikolosem Zinssatz und der Risikoprämie ist.

Die Risikoprämie ergibt sich aus der Multiplikation des für alle Wertpapiere gleichen Markt-preises für das Risiko nicht voll diversifizierter Positionen E[rM - i]/a2 M mit der Risikomenge CTJM, d. h. dem Risikobeitrag einer Anlage zu einem voll diversifizierten Portfolio.204

Definiert man den Betafaktor des Wertpapiers j mit

4 j= / +£ b J z i *0. ( 8)

bzw. ß . =P j M* ^ L , (9)

M &M

erhält man die Risikoprämie aus der Multiplikation der Überrendite²⁰⁵ r^M- i und dem Betafak-tor ßj, der das marktbezogene relative Risiko des Wertpapiers j ausdrückt:²⁰⁶ Der Unterneh-mens- bzw. projektspezifische Betafaktor mißt die Volatilität des Wertpapiers zum

Marktport-201 Für die Darstellung der Gleichungen siehe Copeland/Weston, Theory, p. 197; Rudolph, Kapitalkosten, S. 9 3 -96; Perridon/Steiner, Finanzwirtschaft, S. 263; Schneider, Investition, S. 512 f.

202 Da bereits das Wertpapier j marktwertgewichtet im Marktportfolio enthalten ist, stellt der Anteil a einen Nachfrageüberschuß a > 0 nach diesem Wertpapier dar. Bei Vorliegen eines Kapitalmarktgleichgewichts ist aber ein Nachfrageüberschuß ausgeschlossen und fuhrt somit vom Optimum weg.

203 Vgl. Copeland/Weston, Theory, pp. 197 f.; Rudolph, Kapitalkosten, S. 96; Schneider, Investition, S. 513.

204 Vgl. Drukarczyk, Theorie, S. 238; Schneider, Investition, S. 513.

205 Der in Gleichung (8) dargestellte Erwartungsoperator unterbleibt im folgenden.

206 Vgl. Copeland/Weston, Theory, pp. 197 f.; Drukarczyk, Theorie, S. 236-243. Auf die Erwartungswertope-ratoren wird im folgenden verzichtet.

folio.207 Anhand der Wertpapierlinie des CAPM kann nun gemäß Gleichung (10) die Rendite-forderung der Eigenkapitalgeber aus einem das Risiko des Unternehmens abbildenden Faktor bestimmt werden:208

kE =i + (rM-i)ßj (10)

Im Dokument Marktwert-orientiertes Management von Unternehmens-immobilien (Seite 56-61)