Arbitrage Pricing Theory

Die alternativ zum CAPM vorgeschlagene APT geht davon aus, daß sich die Ausprägung unterschiedlich hoher erwarteter Renditen von risikobehafteten Wertpapieren auf den Einfluß einer endlichen Zahl mikro- und makroökonomischer Ursachen zurückfuhren läßt.209 Diese werden im Gegensatz zum CAPM nicht in einer einzigen verdichteten Risikokennzahl ß,210

sondern in h verschiedenen Risikofaktoren Y2" explizit abgebildet.212 Neben dem grundlegen-den kapitalmarkttheoretischen Annahmenkranz213 sind zwei spezielle Prämissen wesentliche Voraussetzung für die Gültigkeit der APT:214 Arbitragefreiheit215 und die Faktormodell-annahme. Letztere besagt, daß die erwarteten Renditen der Wertpapiere E[rj] durch ein linea-res Mehrfaktorenmodell mit verschiedenen, endlich vielen Faktoren, Faktorsensitivitäten bjh216

und einem Störterm £j217 beschrieben werden können:218

207 Das Marktportfolio weist einen Betafaktor von 1 auf. Wertpapiere, die eine höhere Volatilität bzw. ein höhe-res Risiko haben, realisieren Betafaktoren ß > l , solche mit geringerem Risiko ß < l . Anlagen mit einem ß = 0 sind risikolos. Vgl. z. B. Spremann, Investition, S. 541.

208 Die Berücksichtigung des Einflusses der Finanzierung und der Steuern auf die Bewertungsgleichungen des C A P M werden im Abschnitt 3.2.4.2.2, Schätzung der Eigenkapitalkosten, S. 148 thematisiert.

209 Vgl. Perridon/Steiner, Finanzwirtschaft, S. 273.

210 Vgl. Copeland/Weston, Theory, p. 219.

2 , 1 Der Risikofaktor Yh wird definiert als ein unsicherer, die Aktienrendite beeinflussender, fundamentaler Fak-tor (Zufallsvariable) mit einem Erwartungswert von E(Yh) = 0 und einer Kovarianz von Cov(Yh, Yj) = 0 V

^ h*j.

212 Unter der Annahme normalverteilter Renditen und bei einer linearen Transformation der Risikofaktoren kann das C A P M als Spezialfall der APT interpretiert werden. Vgl. Copeland/Weston, Theory, p. 222.

213 Wie das C A P M geht die A P T von einem vollkommenen und friktionslosen Kapitalmarkt aus, auf d e m Inve-storen mit homogenen Erwartungen hinsichtlich der Erwartungswerte der Renditen der betrachteten Investi-tionsalternativen als Mengenanpasser ohne Transaktionskosten, Steuern und Leerverkaufsbeschränkungen mit unendlich teilbare Wertpapiere handeln. Es wird weiterhin angenommen, daß die Zahl der Wertpapiere n hinreichend groß ist und die Anzahl der Risikofaktoren erheblich übersteigt und daß die Varianz der Wertpa-pierrenditen endlich ist. Vgl. Copeland/Weston, Theory, p. 219; Perridon/Steiner, Finanzwirtschaft, S. 275 f.

214 Bei der nachfolgenden Darstellung der A P T wird der Vorgehensweise von Roll/Ross und Copeland/Weston im wesentlichen gefolgt. Vgl. Roll/Ross, Investigation, pp. 1073-1103; Copeland/Weston, Theory, pp. 219 ff.

215 Vertiefend zur Arbitragefreiheitsbedingung der A P T vgl. Wilhelm, Arbitragefreiheit, S. 899 ff.

216 Diese Variable beschreibt die Sensitivität des j-ten Wertpapiers bezüglich des h-ten Faktors.

217 Der Störterm £J wird als wertpapierspezifische Störgrößen definiert, die einen Erwartungswert von E(EJ) = 0 aufweisen und untereinander nicht korrelieren, d. h. Cov(Eh,Ej) = 0 V h*j gilt, sowie unabhängig von den Faktoren h sind, d. h. Cov(Ej,Fh) = 0 gilt.

218 Vgl. Copeland/Weston, Theory, p. 219; Elton/Gruber, Theory, p. 369; Perridon/Steiner, Finanzwirtschaft, S. 274; Steiner/Nowak, Risikofaktoren, S. 348. Faktorenmodelle basieren nicht auf einer Theorie, sondern auf der empirischen Beobachtung, daß Aktienrenditen verschiedener Wertpapiere i. d. R. nicht unabhängig

r, = 4rj\+bjX +bj2Y2 +... + bjhYh +£j (11) Bei Vorliegen von Arbitragefreiheit weisen alle Arbitrageportfolios2'9, die aus den in der

Be-trachtung stehenden Wertpapieren gebildet werden und weder einen Kapitaleinsatz noch das Eingehen von Risiken verlangen, eine Rendite von null auf: Wenn Wj die monetäre Verände-rung des im Wertpapier j investierten Kapitals als einen prozentualen Anteil am Wert des Portfolios darstellt,220

5 > , = 0 ( 1 2 )

> i

ergibt sich die zusätzliche Rendite aus der Transaktion aus

r

i = i

w

,

r

, = t .

w

A

r

j b i

w

M

+

- + X > A *

y

*

+

1 > Ä (i3)

7=" 7=1 7=1 7=1 7=1

Für die Strukturierung eines Arbitrageportfolios sind sämtliche systematischen und unsyste-matischen Risikokomponenten auszuschalten,221 so daß

2 > 7 * 7 *0 ( 1 4 )

7=1 und222

1 > A * = 0 V y e { l ; 2 ; . . . ; n } ( 1 5 )

7=1

gelten. Bei Vorliegen von Arbitragefreiheit weisen Arbitrageportfolios daher eine Rendite von null auf:223

voneinander sind, sondern korrelieren, da sie von identischen Industrieeinflüssen und sonstigen Faktoren be-einflußt werden. Vgl. Hachmeister, Unternehmenswertsteigerung, S. 169 m. w. N.

219 Ein solches vermögensneutrales und risikofreies Arbitrageportfolio besteht aus n Wertpapieren und weist einen Anfangswert von null auf, d. h., der Investor verkauft Wertpapiere (Verkauf von Wertpapieren im Be-sitz oder Leerverkäufe) und erwirbt mit den Verkaufserlös andere Wertpapiere, so daß die Summe aller Ver-käufe der aller Käufe entspricht. Vgl. Copeland/Weston, Theory, pp. 219 f.

220 Richter bietet ein eingängiges Beispiel zur Illustration dieser Definition an: Besteht ein Portfolio aus drei Wertpapieren (j = 1,2,3) mit den prozentualen Anteilen aj (a, = 33 %; a2 = 33 %; a3 = 33 %) und ist eine Ziel-struktur a / ( a , ' = 0 % ; a2' = 1 0 0 % ; a3' = 0 % ) angestrebt, dann gilt für Wj entsprechend: w , = - 3 3 % ; w2 = +66 %; w3 = -33 %. Vgl. Richter, Konzeption, S. 50. Deutlich wird, daß die Summe der Veränderungen null ergibt, also keine Änderung der Gesamtposition erwirkt wurde.

221 Das unsystematische Risiko wird durch die Annahme relativiert, daß ein sehr gut diversifiziertes Portfolio mit einer hohen Anzahl von Wertpapieren vorliegt, die nur jeweils einen kleinen Anteil am Portfolio ausma-chen.

222 Zur Eliminierung des systematischen Risikos sind die relativen Veränderungen der Wertpapiere so zu variie-ren, daß die gewichtete Summe der systematischen Risikofaktoren für jeden Faktor h null wird, m. a. W. die Rendite des Arbitrageportfolios darf gegenüber den Ausprägungen der Risikofaktoren nicht sensibel, sondern muß sicher sein.

223 Diese Aussage ist intuitiv einsichtig: Da ein Arbitrageportfolio weder Risiko- noch Kapitaleinsatz erfordert, stellt j e d e von null abweichende Rendite eine sichere unendliche Verzinsung dar, die nicht mit Arbitragefrei-heit oder mit einem Kapitalmarktgleichgewicht vereinbar ist. Vgl. Copeland/Weston, Theory, p. 220.

r

j=t

w

j

4 > ] = ° (16) Aus diesen Zusammenhängen kann die APT-Grundgleichung hergeleitet werden,224 nach der der Erwartungswert der Rendite eines Wertpapiers j aus einer Konstanten Ä-o und den Linear-kombinationen der Faktorsensitivitäten mit den faktorbezogenen Risikoprämien Xh ermittelt werden kann:

Bei Vorliegen eines risikolosen Wertpapiers mit der sicheren Verzinsung i gilt: bo,h = 0 und i = Xo. Wenn die Risikoprämien A.h durch 5h—i ersetzt werden, kann eine praktikable APT-Bewertungsgleichung formuliert werden:

In Gleichung (18) gibt 5h die erwartete Rendite in einem Portfolio mit einer Einheit Sensiti-vität zum h-ten Faktor und null Einheiten SensitiSensiti-vität zu allen anderen Faktoren an.225 Nach der APT ergibt sich die erwartete Rendite eines Weitpapiers innerhalb eines diversifizierten Portfolios additiv aus einer Linearkombination der Sensitivitätskoeffizienten der Risikofakto-ren und dem risikolosen Zinssatz.226 In dieser Darstellung ist die APT ein approximatives Be-wertungsmodell, weil bei der Herleitung implizit angenommen wurde, daß auch für nicht vollständig diversifizierte, „unechte" Arbitrageportfolios Gleichung (16) uneingeschränkt gilt, was unterstellt, daß sich stets Investoren finden, die für die Übernahme von einem unsyste-matischen Restrisiko keine Risikoprämie fordern.227 Für die Herleitung der APT ist die Identi-fikation und Quantifizierung der im Mittelpunkt der Analyse stehenden Risikofaktoren nicht notwendig; die APT trifft bezüglich der Auswahl und Anzahl der zu bestimmenden Faktoren keine Aussagen.228 Während beim CAPM mit dem Marktportfolio ein aggregierter Faktor vorgegeben wird, werden die Faktoren der APT rein statistisch oder auf der Grundlage

vorge-224 Wenn aus Gleichung (12) und Gleichung (15) stets die Gültigkeit von Gleichung (16) folgt, dann gibt es h+1 Koeffizienten X A.|,..Ah}, so daß (17) erfüllt ist. Vgl. dazu Copeland/Weston, Theory, p. 221; Frey-gang, Kapitalallokation, S. 234; Perridon/Steiner, Finanzwirtschaft, S. 276, Fn. 34.

225 Vgl. Copeland/Weston, Theory, p. 221. Vgl. auch Freygang, Kapitalallokation, S. 235.

226 Vgl. Kosfeld, Kapitalmarktmodelle, S. 74.

227 Vgl. Perridon/Steiner, Finanzwirtschaft, S. 276. Vgl. auch Hachmeister, Unternehmenswertsteigerung, S. 171 m. w. N. Für eine vertiefende, formale Darstellung vgl. Wallmeier, Aktienrenditen, S. 73 ff.

228 Festgelegt ist lediglich, daß mindestens ein Faktor verwendet wird. Vgl. Richter, Konzeption, S. 51. Zur Methodik der Faktorenanalyse siehe z. B. Elton/Gruber, Theory, pp. 375-380.

E[rj j = A0 + Xxbjx + Ä2bj2 +... + Ahb (17)

(18)

gebener, ökonomisch sinnvoller Variablen aus erklärenden Modellen empirisch gewonnen.229

2.1.3.3 Kritische Würdigung der kapitalmarkttheoretischen Methoden zur

Im Dokument Marktwert-orientiertes Management von Unternehmens-immobilien (Seite 61-64)