Mathematik f¨ur Naturwissenschaftler I WS 2020/21 Prof. Andreas Dreuw

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Mathematik f¨ ur Naturwissenschaftler I WS 2020/21

Prof. Andreas Dreuw

Ubungsblatt 0 ¨ Ausgabe: keine Abgabe

Abgabe: keine Abgabe

1 2 3 4 5 6 Σ

/ 0 P

Basiswissen

Mengen, Ungleichungen, Betrag, Intervalle, Folgen, Rekursion, Vollst¨andige Induktion, Binomialko- effizient, Wahrscheinlichkeitsrechnung

Aufgabe 0.1. Mengen und Ungleichungen

In der Mathematik ist eine Menge definiert als die Zusammenfassung von Elementen. Diese Elemente k¨ onnen willk¨ urlich zusammengestellt sein, aber auch einer Bedingung unterliegen.

(a) Geben Sie die drei elementare Operationen f¨ ur das Rechnen mit Mengen an und ver- anschaulichen Sie diese grafisch.

(b) Gegeben seien folgende Ungleichungen mit x ∈ R : 2x − 3 ≥ 12 − 3x − 20

x + 1 < −4 (1)

L¨ osen Sie die Ungleichungen nach x auf und geben sie die Mengen an, f¨ ur die diese Ungleichungen gelten.

(c) Wenden Sie die in a) genannten Operationen auf die beiden L¨ osungsmengen von b) an.

L¨ osung 0.1.

(a) A ∪ B: Vereinigungsmenge, Element in A oder B A ∩ B: Schnittmenge, Element in A und B

A \ B: Differenzmenge, Element in A und nicht in B (b)

2x − 3 ≥ 12 − 3x | + 3 (2)

2x ≥ 15 − 3x | + 3x (3)

5x ≥ 15 | : 5 (4)

x ≥ 3 (5)

1

(2)

A = {x ∈ R |x ≥ 3}

− 20

x + 1 < −4 | · (−1) (6)

20 x − 1 > 4 | + 1 (7)

20 x > 5 | : 20 (8)

1 x > 1

4 | (..)

⁻¹

(9)

x < 4 (10)

B = {x ∈ R |x < 4}

(c)

A ∪ B = R (11)

A ∩ B = {x ∈ R |3 ≤ x < 4} (12)

A \ B = {x ∈ R |x ≥ 4} (13)

B \ A = {x ∈ R |x < 3} (14) (15) Aufgabe 0.2. Zahlenmengen und Betrag

(a) Geben Sie Beispiele f¨ ur Zahlenmengen mitsamt ihrer Definition.

(b) Wie ist der Betrag einer Zahl |x|, x ∈ R definiert? Was bedeutet das f¨ ur die Achsen- symmetrie der Betragsfunktion?

(c) Welcher Zusammenhang besteht zwischen |a + b| und |a| + |b|?

L¨ osung 0.2.

(a) N: Nat¨ urliche Zahlen N = {1, 2, ..}

N

0

: Nat¨ urliche Zahlen mit Null N

0

= N ∪ {0}

Z : Ganze Zahlen Z = {.., −1, 0, 1, ..}

Q : Rationale Zahlen Q = {

^a_b

|a ∈ Z , b ∈ N }

R : Reelle Zahlen: Neben Q auch die irrationalen Zahlen R \ Q , z. B. √ 2, π, e (b) Der Betrag einer Zahl |x|, x ∈ R entspricht ihrem Abstand zum Nullpunkt, |x| = √

x

²

. Die Betragsfunktion ist somit achsensymmetrisch zur y-Achse.

(c) Dreiecksungleichung: |a +b| ≤ |a| +|b|, Gleichheit gilt nur bei gleichem Vorzeichen von a und b.

Aufgabe 0.3. Intervalle Intervalle sind eine M¨ oglichkeit, Mengen durch die Angabe ihrer Grenzen zu beschreiben.

(a) Es wird zwischen offenen und geschlossenen Intervallgrenzen unterschieden. Worin unterscheiden sich diese?

(b) Geben sie jeweils ein Beispiel f¨ ur ein offenes, halboffenens und geschlossenes Intervall mit der dazugeh¨ origen Ungleichung.

(c) Als uneigentliche Intervalle bezeichnet man jene, die ±∞ als Intervallgrenze aufweisen (stets offen gekennzeichnet). Schreiben Sie die Mengen in Aufgabe 1 (c) in Intervalle um.

2

(3)

L¨ osung 0.3.

(a) Offene Intervallgrenze: der Grenzwert liegt nicht in der betrachteten Menge Geschlossene Intervallgrenze: der Grenzwert liegt in der betrachteten Menge (b) ....

(c) I

_A∪B

=] − ∞, ∞[

I

_A∩B

= [3, 4[

I

_A\B

= [4, ∞[

I

_B\A

=] − ∞, 3[

Aufgabe 0.4. Rekursion

(a) Was versteht man unter dem Begriff Rekursion?

(b) Geben Sie ein Beispiel f¨ ur eine rekursive Folge und berechnen Sie das f¨ unfte Folgeglied.

L¨ osung 0.4.

(a) Bei der rekursiven Formulierung, beispielsweise einer Zahlenfolge, wird das n-te Glied unter Verwendung des vorherigen Glieds/der vorherigen Glieder (n − 1, n − 2 ...) ermittelt. Im Gegensatz zu einer expliziten Formulierung, bei der jedes Glied direkt berechnet werden kann, ist hier die Kenntnis der vorhergegangenen Glieder und eines Anfangsgliedes notwendig.

(b) Fakult¨ at n!: f

n

= n · f

_n−1

! mit f

1

= 1

Fibonacci-Folge: f

n

= f

_n−1

+ f

_n−2

mit f

1

= f

2

= 1 Aufgabe 0.5. Vollst¨ andige Induktion

(a) Zeigen Sie P

n

i=1

(2i − 1) = n

²

. L¨ osung 0.5.

(a) Induktionsanfang (n = 1): P

1

i=1

(2i − 1) = 1 Induktionsbehauptung (n = m): P

m

i=1

(2i − 1) = m

²

Induktionsschritt (n = m + 1): P

m+1

i=1

(2i − 1) = (2(m + 1) − 1) + P

m

i=1

(2i − 1)

= 2m + 2 − 1 + m

²

(Behauptung eingesetzt) = (m + 1)

²

Aufgabe 0.6. Binomialkoeffizient

(a) Wie ist der Binomialkoeffizient definiert? Schreiben Sie die ersten f¨ unf Zeilen des Pas- cal’schen Dreiecks auf.

(b) Berechnen Sie (a+b)

⁵

(entweder mit dem Dreieck oder ¨ uber (a+b)

ⁿ

= P

n k=0

n k

a

^n−k

b

^k

).

(c) Wie viele verschiedene M¨ oglichkeiten gibt es, aus einem Topf mit 10 Kugeln 4 zu ziehen, wenn man die Kugeln nicht zur¨ ucklegt und (1) die Reihenfolge der gezogenen Kugeln beachtet wird und (2) die Reihenfolge beliebig ist?