Mathematik f¨ur Naturwissenschaftler I WS 2020/21 Prof. Andreas Dreuw

Mathematik f¨ ur Naturwissenschaftler I WS 2020/21

Prof. Andreas Dreuw

Ubungsblatt 5 ¨ Ausgabe: Do 3.12.2020

Abgabe: Fr 11.12.2019 10:00

1 2 3 4 Σ

/ 18 P

Basiswissen

Kreisfunktionen, Harmonische Schwingungen, Additionstheoreme

Neue Themen

Grenzwerte von Funktionen, Stetigkeitsdefini- tionen, Differenzierung von Funktionen

Aufgabe 5.1 (7 P). (Schwebung)

Als Schwebung wird in der Physik eine ¨ Uberlagerung (Superposition) von zwei Schwingungen bezeichnet. Eine solche Superposition ist ein h¨ aufig beobachteter Effekt in der Wellenlehre.

Das einfachste Beispiel ist das Spielen zweier T¨ one deren Frequenzen nahe beieinander liegen.

Es entsteht dabei ein neuer Ton dessen Lautst¨ arke periodisch zu- und abnimmt.

Betrachten Sie zwei harmonische Schwingungen der Form:

f 1 (t) = C cos(ω 1 t) f 2 (t) = C cos(ω 2 t) (1) Die Summe dieser beider Schwingungen l¨ asst sich schreiben als

f (t) = f 1 (t) + f 2 (t) = C [cos(ω 1 t) + cos(ω 2 t)] (2) (a) Man kann die beiden Frequenzen umschreiben zu:

ω 1 = ω ₁ + ω ₂

2 + ω ₁ − ω ₂

2 ω 2 = ω ₁ + ω ₂

2 − ω ₁ − ω ₂

2 (3)

Außerdem l¨ asst sich der Cosinus mit der komplexen Exponentialfunktion schreiben als:

cos(ωt) = Re(e ^iωt ). (4)

Bringen Sie mithilfe der obigen Identit¨ aten die Funktion f (t) in eine Form, die das

Produkt aus zwei Cosinus-Funktionen darstellt. (3 P)

Der Term mit der Summenfrequenz (ω 1 + ω 2 ) wird als Schwingungsterm bezeichnet, der Term mit der Differnzfrequenz (ω 1 − ω 2 ) Schwebungsterm.

TIPP: Beachten Sie hierbei, dass z + z ^∗ = 2 Re(z) und Re(az) = a Re(z) f¨ ur z ∈ C und a ∈ R gilt.

(b) Zwei Musikinstrumente spielen den Ton a ¹ , das eine Instrument mit 439 Hz, das andere Instrument mit 441 Hz. Berechnen Sie die Schwingungs- und Schwebungsfrequenz des

resultierenden Tones. (1 P)

(c) Wie verhalten sich Schwingungs- und Schwebungsfrequenz f¨ ur den Grenzfall lim

ω

→ω

und f¨ ur den Fall ω ₁ >> ω ₂ ? (2 P)

(d) Berechnen Sie das Verh¨ altnis von Schwingungs- zu Schwebungsfrequenz. Was l¨ asst sich f¨ ur den Grenzfall lim

ω

→ω

und f¨ ur den Fall ω 1 >> ω 2 daraus schließen? (1 P)

1

Aufgabe 5.2 (5 P). (Grenzwerte)

Grenzwertbetrachtungen sind unter anderem wichtig f¨ ur Experimente bei denen der wahre Wert eventuell nicht direkt gemessen werden kann, sondern die Messungen sich ihm nur ann¨ ahern.

(a) Berechnen Sie folgende Grenzwerte (2 P)

x→∞ lim

x ³ + 2x + 4

(x − 2)(x + 2) lim

x→0

√ 5 − x − √ 5

x lim

x→∞

5 − x

3 + x lim

x→

sin(2x) cos(x) (5)

(b) Folgende Grenzwerte sind bekannt (1 P)

x→a lim f (x) = 3 lim

x→a g(x) = 4 lim

x→a h(x) = 5 (6) Verwenden Sie diese Angaben um folgenden Grenzwert zu berechnen

x→a lim

5h(x) g(x)

^f(x) ! + lim

x→a

h(x)

g(x) − log ₄ g(x) ³

+ lim

x→b g(x) (7)

(c) Vollf¨ uhren Sie eine beidseitige Grenzwertbetrachtung f¨ ur folgende Funktion im Punkt

x 0 = 1 (2 P)

f (x) = x ⁴ + x ² + 1

x ³ − 1 (8)

Was f¨ allt Ihnen auf?

Aufgabe 5.3 (2 P). (Stetigkeit) Folgende Funktionen sind gegeben

f (x) = 4x ² + 3 g(x) =

( x ² x < 3

x + 10 x ≥ 3 (9)

Untersuchen Sie die Funktionen f (x) und g(x) auf ihre Stetigkeit im Punkt x 0 = 3. Verwen- den Sie ihre links- und rechtsseitigen Grenzwerte f¨ ur die ¨ Uberpr¨ ufung. (2 P) Aufgabe 5.4 (4 P). Berechnen Sie die Grenzwerte

∆→0 lim

f (x + ∆) − f (x)

∆ (10)

der Funktionen:

(a) f (x) = 2x ² − 4x − 3 (2 P)

(b) f (x) = _2x−3 ¹ (2 P)

2