Mathematik f¨ ur Naturwissenschaftler I WS 2020/21
Prof. Andreas Dreuw
Ubungsblatt 8¨ Ausgabe: Do 14.01.2021
Abgabe: Fr 22.01.2021 10:00
1 2 3 4 Σ
/ 21 P
Basiswissen
Kreisfunktionen, Hyperbelfunktionen, Poly- nome, Differentiation
Neue Themen
Bestimmte und unbestimmte Integrale, Inte- grieren durch Substitution, Eigenschaften von Integralen
Aufgabe 8.1 (8 P). (Integration)
(a) Berechnen Sie folgende bestimmte Integral indem Sie vorher die passenden unbestimm- ten Integrale aufstellen
F1= Z 2
1
f1(x)dx= Z 2
1
(2x2+ 3x+ 4)dx (1)
F2= Z ln(2)
0
f2(x)dx= Z ln(2)
0
(sinh(x) +e3x)dx (2) F3=
Z e4
e2
f3(x)dx= Z e4
e2
1
xdx (3)
(3 P) (b) Bestimmen Sie das Integral G f¨ura, b∈R,a >0,b > a
g(x) =
(ex x≥a
x2 x < a G= Z b
0
g(x)dx (4)
(1 P) (c) Bestimmen Sie das Integral H und vereinfachen Sie soweit wie m¨oglich
H = Z a
0
dx(18
ππf1(x)+99
38f2(x)+2048
614 f3(x))+
Z 0
a
dx(18
ππf1(x)+99
38f2(x)+2048 614 f3(x))
(5) (1 P) (d) Bestimmen Sie folgendes Integral. Argumentieren Sie hierf¨ur mit den Eigenschaften
der einzelnen Funktionen im Produkt.
I= Z a
−a
xsin(x)(x3+ 16 516πx)(99
18x2+ 4) cosh(x)dx (6) (1 P)
(e) Bestimmen Sie das folgende Integral Z
dx Z
dx Z
dx Z
dxsin(x)
(7) Welche Beziehung zwischen der Integration und Differentiation der Kreisfunktionen
k¨onnen Sie daraus schließen? (2 P)
L¨osung 8.1.
(a) Zun¨achst die unbestimmten Integrale. Die Linearit¨at der Integration erm¨oglicht das Auseinanderziehen aller Integrale. Das bedeutet, dass man die Summanden der zu integrierende Funktion unabh¨angig voneinander integriert werden k¨onnen.
F1= 2 3x3+3
2x2+ 4x+C1 (8)
F2= cosh(x) +1
3e3x+C2 (9)
F3= ln(x) +C3 (10)
Nun werden die Grenzen eingesetzt:
F1= 2
3x3+3
2x2+ 4x
2
1
= 116 6 −37
6 = 79
6 (11)
F2=
cosh(x) +1 3e3x
ln(2)
0
= 47 12−16
12 = 31
12 (12)
F3= ln(x)
e4
e2
= 4−2 = 2 (13)
(14) (b)
G= Z a
0
x2dx + Z b
a
exdx = 1
3a3+eb−ea (15) (c) Es ist zu beachten, dass
Z b
a
f(x)dx = − Z a
b
f(x)dx (16)
Wenn man nun folgende Betrachtung vornimmt:
f(x) := 18
ππf1(x) +99
38f2(x) +2048
614 f3(x) (17)
Erkennt man leicht, dass das Integral folgende Form hat:
H = Z a
0
f(x)dx+ Z 0
a
f(x)dx (18)
Da einfach nur die Integrationsgrenzen getauscht wurden, ist unter Verwendung von Gleichung (16) H= 0.
(d) Zun¨achst ist die Einf¨uhrung einer neuen Nomenklatur hilfreich: Funktionen, die sym- metrisch zur Ordinate sind, werden als gerade (g) bezeichnet, Funktionen mit einer Punktsymmetrie im Ursprung alsungerade(u). F¨ur diese Funktionen gilt nun:
Z a
−a
fg(x) = 2 Z a
0
fg(x)6= 0
Z a
−a
fu(x) = 0. (19)
Man kann sich leicht ¨uberlegen, dass die Symmetrie des Produkts zweier Funktionen sich wie folgt verh¨alt:
g×g=g g×u=u u×u=g (20) Mit dem Wissen, dass x,sin(x) und x3+ (16x/516π) ungerade Funktionen sind und (99x2/18) + 4 und cosh(x) gerade Funktionen, ergibt sich f¨ur die Symmetrie des Pro- dukts:
u×u×u×g×g = u (21)
und somit istI= 0 ¨uber dem symmetrischen Intervall von−abis a.
(e) Schrittweise Berechnung:
Z
dxsin(x) = −cos(x) +C1 (22)
Z
dx−cos(x) +C1 = −sin(x) +C1x+C2 (23) Z
dx−sin(x) +C1x+C2 = cos(x) +C1
2 x2+C2x+C3 (24) Z
dxcos(x) +C1
2 x2+C2x+C3 = sin(x) +C1
6 x3+C2
2 x2+C3x+C4 (25) (26) Es f¨allt nat¨urlich auf, dass sich eine Abfolge im Schema der Stammfunktionen ergibt.
F¨ur die Ableitung der trigonometrischen Funktionen gilt schematisch:
sin(x) → cos(x) → −sin(x) → −cos(x) → sin(x) (27) Umkehren der Pfeile liefert das Schema f¨ur die Integration:
sin(x) → −cos(x) → −sin(x) → cos(x) → sin(x) (28) Das muss jeder wissen!
Aufgabe 8.2 (6 P). (Substitution)
Bestimmen Sie folgende Integrale durch Substitution F1=
Z
f1(x)dx= Z
sin(2x+ 1)dx (29)
F2= Z
f2(x)dx= Z
x4(x5+ 2)3dx (30) F3=
Z
f3(x)dx= Z √
2x−2+ 3
4x3 dx (31)
F4= Z
f4(x)dx= Z
cos(x) sin(x)dx (32)
L¨osung 8.2.
u:= 2x+ 1 ⇒ dx=1
2du (33)
Z 1
2sin(u)du=−1
2cos(u) +C1=−1
2cos(2x+ 1) +C1 (34) u:=x5+ 2 ⇒ dx= 1
5x4du (35)
Z x4
5x4u3du= 1
20u4+C2= 1
20(x5+ 2)4+C2 (36)
u:= 2x−2+ 3 ⇒ dx=−x3
4 du (37)
Z −x3 16x3
√u du=−1 16
2
3u32 +C3=−1
24 2x−2+ 332
+C3 (38)
u:= sin(x) ⇒ dx= 1
cos(x)du (39)
Z cos(x)
cos(x)u du= 1
2u2+C4=1
2sin2(x) +C4 (40)
(41) Bei anderer Substitution kann letzteres Integral auch geschrieben werden als:
u:= cos(x) ⇒ dx=− 1
sin(x)du (42)
Z
−sin(x)
sin(x)u du=−1
2u2+C4=−1
2cos2(x) +C4 (43) (44) Die Periodizit¨at der trigonometrischen Funktionen liefert hier also zwei ¨aquivalente, Stamm- fuktionen. (Das heißt, dass sie die selbe Ableitung besitzen, jedochnicht, dass sie die selbe Funktion darstellen!)
Aufgabe 8.3 (3 P). (Fl¨ache eines Dreiecks)
Bestimmen Sie durch geschickte Integration die Fl¨ache des Dreieckes welches durch die PunkteA(0/0),B(1/1) undC(1.5/0.75) aufgespannt wird.
L¨osung 8.3.
x y
B C A
Zun¨achst kann man drei Geradengleichungen formulieren.A, B, Cergeben dann die Schnitt- punkte der drei Geraden. Man kann direkt die Geradengleichungen f¨ur die GeradengABund gAC ablesen:
gAB(x) = x gAC(x) = 3 4
2 3x = 1
2x (45)
F¨urgBC zu bestimmen benutzt man nun die angegebenen Punkte. Es muss gelten:
m+b = 1 3
2m+b = 3
4 (46)
woraus sichm=−12 undb= 32 ergibt. Somit hat man auch die dritte Geradengleichung:
gBC(x) = −1 2x+3
2. (47)
Die Fl¨ache des Dreiecks ist nun einfach:
A = Z 1
0
gAB(x)dx + Z 32
1
gBC(x)dx − Z 32
0
gAC(x)dx (48)
= 1 2x2
1
0
+
−1 4x2+3
2x
3 2
1
− 1 4x2
3 2
0
(49)
= 1 2 −0 +
−9 16+9
4+1 4 −3
2
− 9 16 = 3
8. (50)
Aufgabe 8.4 (4 P). (Beispielaufgaben zu Integration)
(a) F¨uhrt man dem Elektron der ¨außersten Schale eines Atoms genug Energie zu, kann man dieses Elektron aus der Schale entfernen. Diesen Vorgang nennt man Ionisation.
Berechnen Sie die aufzuwendende Energie um eine vereinfachte negativen Ladung ein ˚Angstr¨om Abstand von einer positiven Ladung entfernt ins Kontinuum (ins Un- endliche) zu entfernen. Verwenden Sie dazu folgende Kraftgleichung mit passenden Grenzen.
F(r) =Ce2
r2 (51)
e≈1.5·10−19As,C≈9·109V mAs.
Welche physikalische Bedeutung hat das Vorzeichen des Ergebnisses? (2 P) (b) F¨ur ein Forschungsprojekt messen Sie atmosph¨arische Druckver¨anderung in verschie-
denen H¨ohen. Aus ihren Messergebnissen geht folgende Relation hervor dp
dh =−C p (52)
mitC=−2·10−3 1m. Um eine Formel f¨ur die Abh¨angigkeit des Druckes von der H¨ohe herzuleiten, teilen Sie nun beide Seiten folgendermaßen auf
Z p(h1)
p(h0)
1
pdp=−C Z h1
h0
dh (53)
Integrieren Sie obrige Formel und bringen Sie sie auf die Formp(h1) =· · ·. Was w¨are eine passende Wahl f¨urp(Meeresspiegel) auf der Erde? (2 P)
L¨osung 8.4.
(a) MitE=R
F ds kann man nun die ben¨otigte energie berechnen:
E = Z b
a
Ce2
r2dr = −Ce2 r
b
a
(54) Die passenden Grenzen sind nun zu w¨ahlen: b= 1˚A= 10−10m, a=∞. Somit ergibt sich:
E = 0J−
−9·109·2.25·10−38 10−10
= 20.25·10−19 J = 2.025·10−18J (55) Das positive Vorzeichen bedeutet, dass die Energie aufgewendet werden muss, um die beiden Ladungen zu separieren. Das elektrische Potential ergibt sich nun einfach durch
E
e, das bedeutet, dass die Energie durch die Probeladung (hier Elektron) dividiert wird.
(b) Integration liefert:
ln(p)
p(h1)
p(h0)
= −Ch
h1
h0
⇒ ln(p(h1))−ln(p(h0)) = −C(h1−h0) (56)
Umformen und Anwenden der Logarithmengesetze ergibt:
ln p(h1)
p(h0)
= −C∆h (57)
p(h1)
p(h0) = e−C∆h (58)
p(h1) = p(h0)e−C∆h. (59) Auf der Erde ist die sinnvollste Wahl der Druck auf Meeresh¨ohep(h0) = 1013 hPa≈1 bar. Die Meeresh¨ohe wird dementsprechend gesetzt alsh0= 0.
