Mathematik f¨ur Naturwissenschaftler I WS 2020/21 Prof. Andreas Dreuw

Mathematik f¨ ur Naturwissenschaftler I WS 2020/21

Prof. Andreas Dreuw

Ubungsblatt 2 ¨ Ausgabe: Do 12.11.2020

Abgabe: Fr 20.11.2020 10:00

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/ 21 P

Basiswissen

Quadratische Gleichungen, Nullstellen, Betrag, Kartesische Koordinatensysteme, Variablen, Aquivalenzumformung, ¨ Expo- nenten, Komplexe Zahlen, Symmetrie, Definitionsl¨ ucke, Periodizit¨ at, Extrema

Neue Themen

Funktionstheorie, Polynome n-ten Grades, Komplexe Polynome n-ten Grades, Defini- tionsbereich, Wertebereich, Monotonie, Be- tragsfunktion, Komposition von Funktionen, Umkehrfunktion

Aufgabe 2.1 (8 P). Funktionstheorie

Unter einer Funktion versteht man den Vorgang der Abbildung einer Definitionsmenge auf eine Wertemenge.

f : D → W

Einfach gesagt wird jedem Element x einer Menge an Zahlen D genau ein Element y einer Menge an Zahlen W zugewiesen.

In der Forschung produziert man viele solcher Zahlenpaare durch Messvariablen und Messwerte. Diese werden in Wertetabellen zusammengefasst.

Messvariablen −3 −2 −1 0 1

Messwerte 12 6 4 6 12

Tabelle 1: Wertetabelle

(a) • Zeichnen Sie die Werte aus Tabelle 1 in einem geeigneten Koordinatensystem ein.

Achten Sie auf die richtigen Beschriftungen.

• Messwerte werden h¨ aufig mit Kurvenverl¨ aufen kontinuierlicher Funktionen an- gen¨ ahert. Die passende Funktion f¨ ur die obigen Werte hat die Form

f ₁ (x) = ax ² + bx + c (1)

Bestimmen Sie die Koeffizienten der Funktion durch Einsetzen oder Ablesen.

• Untersuchen Sie die Funktion f ₁ (x) auf folgende Eigenschaften – Symmetrie

– Monotonie – Definitionsl¨ ucken – Periodizit¨ at

– Extrema (sie brauchen keine Kurvendiskussion hierf¨ ur durchzuf¨ uhren)

1

(3 P) (b) Untersuchen Sie die Funktionen in Abbildung 1 auf die oben genannten angegebenen

Eigenschaften. (3 P)

-30 -20 -10 0 10 20 30

-3 f(x) -2 -1 0 1 2 3

x Funktion 2

-1 0 1 2 3 4 5

-3 -2 -1 0 1 2 3

f(x)

x Funktion 3

0 5 10 15 20 25

-3 -2 -1 0 1 2 3

f(x)

x Funktion 4

-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 f(x)

x Funktion 5

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-4 -3 -2 -1 f(x) 0 1 2 3 4

x Funktion 6

-6 -4 -2 0 2 4 6

-6 f(x) -4 -2 0 2 4 6

x Funktion 7

Abbildung 1: Aufgabe 1 b): Untersuchen Sie folgende Funktionen auf die oben genannten Eigenschaften.

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(c) Folgende Funktion ist gegeben

f 8 (x) = |x|x (2)

f¨ ur D f

= {x ∈ R \ 0}

• Erstellen Sie eine geeignete Wertetabelle f¨ ur das Intervall [−5; 5] im Definitions- bereich der obigen Funktion.

• Zeichnen Sie die Funktion und geben Sie den gesamten Wertebereich in Intervall- schreibweise an.

• Untersuchen Sie die Funktion auf Symmetrie, Monotonie, Periodizit¨ at, Extrema (ohne Kurvendiskussion) und Definitionsl¨ ucken

(2 P) Aufgabe 2.2 (3 P). (a) Folgende reellwertige Funktionen sind gegeben

g(x) = x ³ + 8x ² − 5x − 3 h(x) = ( √ 8x − √

2) ² − 3x − 5 (3) Berechnen Sie

g + h g − h g · h g

h (4)

und geben Sie f¨ ur die Ergebnisse den jeweiligen Definitionsbereich und Wertebereich an. Sie brauchen hierf¨ ur keinen Taschenrechner und k¨ onnen Br¨ uche stehenlassen.(2 P) (b) Folgende Funktionen sind gegeben

f(x) = 2x ² g(x) = x + 4 h(x) = √

x (5)

Bilden Sie f (g(x)), g(f (x)), g(h(x)), h(g(x)). Welche allgemeine Aussage bez¨ uglich der Komposition von Funktionen k¨ onnen Sie anhand dieser Beispiele treffen. (1 P) Aufgabe 2.3 (3 P). Umkehrfunktion

F¨ ur alle bijektiven Funktionen f : x → y existieren Umkehrfunktionen f ⁻¹ : y → x.

Eine Funktion ist bijektiv wenn sie jedem Element (hier x) ihrer Ursprungsmenge genau ein ein- deutiges Element (hier y) der Zielmenge zuweist. Das heißt es gibt keine doppelte Belegung von y.

f : x → y bedeutet “f¨ ur f gilt x wird abgebildet auf y”.

Die Umkehrfunktion (f ⁻¹ (x), bedeutet NICHT _f(x) ¹ ) einer Funktion erh¨ alt man indem man die Formel nach x = · · · aufl¨ ost und anschließend x und y vertauscht. Man erh¨ alt schlussendlich wieder eine Funktion mit f (x) = y = · · · .

(a) Folgende Funktionen sind gegeben f (x) = ( √

5)x + 3 g(x) = 4

x + 12 (6)

Geben Sie die jeweiligen Definitions- und Wertebereiche der obigen Funktionen an.

Bilden Sie dann deren Umkehrfunktionen. Geben Sie im Anschluss die Definitions- und Wertebereiche der Umkehrfunktionen an. Was f¨ allt Ihnen auf? (2 P) (b) Welcher geometrischen Operation im kartesischen Koordinatensystem entspricht die

Umkehrfunktion? (1 P)

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Aufgabe 2.4 (4 P). Polynome n-ten Grades haben die allgemeine Form P (x) =

n

X

i=0

a i x ⁱ (7)

(a) Wieviele Nullstellen besitzt ein Polynom n-ten Grades? Wieviele reelle Nullstellen

besitzt solch ein Polynom maximal? (1 P)

(b) Das Polynom f (x) besitzt folgende Nullstellen: x _1/2 = 5, x 3 = −2, x 4 = 2. Leiten Sie daraus die faktorisierte Form des Polynoms ab und vereinfachen Sie diese zur ¨ ublichen

Potenzschreibweise. (2 P)

(c) Betrachten sie die reellwertige Funktion

f(x) = (x + 4) ²

x ² − 16 (8)

Geben Sie den Definitionsbereich und die Nullstellen der Funktion an. (1 P) Aufgabe 2.5 (3 P). (a) Betrachten Sie das Polynom

f(x) = (x + 5i)(x − 5i)(x − 2i)(x + 2i) (9) Bestimmen Sie alle Nullstellen des Polynoms und schreiben Sie das Polynom in die

ubliche Potenzschreibweise um. ¨ (1 P)

(b) Bestimmen Sie alle Nullstellen des Polynoms

f(x) = x ⁴ + x ³ + 14x ² + 16x − 32 (10) Hinweis: Eine Nullstelle ist bei x = 4i. Sie brauchen keine Polynomdivision und k¨ onnen die Aufgabe durch die bekannten Eigenschaften komplexer Nullstellen l¨ osen.

Desweiteren:

Das Produkt aller Nullstellen eines Polynoms entspricht dem konstanten Term des Polynoms. Dabei muss die Vielfachheit beachtet werden.

(2 P)

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