Mathematik f¨ ur Naturwissenschaftler I WS 2020/21

Mathematik f¨ ur Naturwissenschaftler I WS 2020/21

Prof. Andreas Dreuw

Ubungsblatt 10 ¨ Ausgabe: Do 28.01.2021

Abgabe: Fr 05.02.2021 10:00

1 2 Σ

/ 21 P

Basiswissen

Integration, Differenziation, Produktregel, Partielle Integration, Substitution, explizi- te/implizite Funktionen

Neue Themen

Differentialgleichungen, Typen, DGL 1ster Ordnung, Trennung der Variablen, Variation der Konstanten

Aufgabe 10.1 (8 P). (Differentialgleichungen)

(a) Nennen Sie jeweils ein konkretes Beispiel f¨ ur folgende Differentialgleichungsarten (i) Explizite partielle homogene nicht-lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung (ii) Implizite gew¨ ohnliche inhomogene lineare Differentialgleichung dritter Ordnung

(2 P) (b) Bestimmen Sie die allgemeine L¨ osung folgender gew¨ ohnlicher Differentialgleichungen

erster Ordnung ausf¨ uhrlich.

(i)

y

(x) = 2xy(x) + x (1)

(ii)

y

(x) = ay

(x) (2)

Wobei a = konstant.

(6 P)

L¨ osung 10.1.

(a) Im Folgenden je eine m¨ ogliche Differentialgleichung.

(i) ∂

y(x, t)

∂x

− 2xy

(x, t) = 0

Explizit ist gegeben, da die h¨ ochste vorkommende Ableitung

∂

y(x, t)

∂x

isoliert aufzufinden ist, partiell durch die partielle Ableitung

∂

y(x, t)

∂x

, homogen, weil es keine Inhomogenit¨ at gibt (wie z.B. den Term x), nicht-linear aufgrund des Terms 2xy

(x, t)

und von der Ordnung 2 wegen der zweifachen Ableitung ∂

y(x, t)

∂x

.

1

(ii) xy

− 2y = 4x

Diese DGL ist implizit, da vor der h¨ ochsten Ableitung ein x dranmultipliziert wurde (xy

(x)), gew¨ ohnlich, weil wir nur Ableitungen zu einer unabh¨ angige Gr¨ oße (x) vorliegen haben, inhomogen aufgrund der Inhomogenit¨ at (4x), line- ar, da y(x) und ihre Ableitungen nur in einfacher Potenz erscheinen und letztlich von dritter Ordnung, weil die h¨ ochste Ableitung eine dreifache ist (y

(x)).

(b) (i) Zun¨ achst l¨ osen wir die homogene Gleichung. Diese erhalten wir, indem wir die Inhomogenit¨ at (in diesem Fall den Term x weglassen.

dy

dx = 2xy (3)

⇒ Z 1

y dy = Z

2x dx (4)

⇒ ln(|y|) = x

+ c (5)

⇒ y = e

(6)

⇒ y = e

· e

(7)

⇒ y = C · e

(8) (9) Wobei C = e

. Jetzt variieren wir die Konstante: C −→ C(x)

y

= 2xe

· C(x) + e

· C

(x) (10) (11) Einsetzen in die inhomogene Gleichung ergibt:

2xe

· C(x) + e

· C

(x) − 2xe

· C(x) − x = 0 (12)

⇒ C

(x) = xe

(13)

⇒ C(x) = − 1

2 e

+ ˜ C (14)

Einsetzen ergibt dann:

y = ˜ Ce

− 1

2 (15)

(ii) Analog zu (b)(i) trennen wir die Variablen und schreiben in die Integrale:

Z 1 y

dy =

Z

a dx (16)

⇒ − 1

y = ax + C (17)

⇒ y = 1

−ax − C (18)

(19) Aufgabe 10.2 (13 P). (Radioaktiver Zerfall)

Sie sind im Labor und untersuchen einen Isotopenzerfall. Hierbei sind die Reaktionskonstan- ten k

≈ 1.37 × 10

und k

≈ 2.10 × 10

, daher k

<< k

. Um den Verlauf der Stoffmenge des Radons zu verfolgen, stellen Sie folgende Differentialgleichung auf.

dN

(t)

dt + k

N

(t) − k

N

= 0 (20)

2

226

Ra −−→

Rn −−→

Po

(a) Identifizieren Sie alle konstanten Terme. Beachten Sie dabei den Gr¨ oßenordnungsun- terschied der Reaktionskonstanten und vereinfachen Sie dadurch. Um was f¨ ur eine

DGL handelt es sich hier? (2 P)

(b) Bestimmen Sie die allgemeine L¨ osung der DGL. F¨ uhren Sie hierbei alle Rechenschritte

ausf¨ uhrlich durch. (6 P)

(c) F¨ ur den Start der Reaktion gilt N

(0) = 0. Bestimmen Sie die spezielle L¨ osung der

DGL f¨ ur diesen Anfangswert. (2 P)

(d) Bestimmen Sie die Aktivit¨ at der speziellen L¨ osung nach

A = − N ˙ (21)

(1 P) (e) Wie verh¨ alt sich die Funktion f¨ ur N (t) und A(t) ¨ uber einen sehr langen Zeitraum lim

t→∞

? (2 P)

L¨ osung 10.2.

(a) Dadurch, dass der Zerfall von Radon viel schneller abl¨ auft als der von Radium (

Ra

≈ 10

), kann der Zerfall von Radium f¨ ur das Zeitintervall, in dem der Radonzerfall be- trachtet wird, als konstant angenommen werden. Der Term −k

N

, genauer N

ist also als konstant zu betrachten. Es handelt sich demnach um eine explizite gew¨ ohnliche inhomogene lineare Differentialgleichung erster Ordnung.

(b) Gel¨ ost wird obige DGL mithilfe der Variation der Konstanten. Zun¨ achst wird die homogene DGL gel¨ ost:

dN

(t)

dt + k

N

(t) = 0 (22)

⇒ dN

(t)

N

(t) = −k

dt (23)

⇒ ln(N

(t)) = −k

dt + c (24)

⇒ N

(t) = C · e

(25)

Auch hier gilt wieder C = e

. Jetzt variieren wir die Konstante: C = C(t) dN

(t)

dt = C(t) ˙ · e

− k

C(t) · e

(26) Einsetzen in die inhomogene Gleichung ergibt:

C(t) ˙ · e

− k

C(t) · e

+ k

C(t) · e

− k

N

= 0 (27)

⇒ C(t) ˙ · e

= k

N

(28)

⇒ C(t) = ˙ k

N

e

(29)

⇒ C(t) = k

k

N

e

+ ˜ C (30) (31)

3

Einsetzen ergibt dann:

N

(t) = k

k

N

e

+ ˜ C

· e

= k

k

N

+ ˜ Ce

(32)

(c) Mit N

(0) = 0 sieht man direkt:

0 = k

k

N

+ ˜ C (33)

⇒ C ˜ = − k

k

N

(34)

Und somit ist die Zerfallsgleichung:

N

(t) = k

k

N

1 − e

(35) (d)

A = − N ˙ = −k

N

e

(36) Interessant ist hierbei, dass die Aktivit¨ at negativ ist, das heißt, die vorhandene Stoff- menge von Radon steigt.

(e) F¨ ur t → ∞ geht der Exponentialterm jeweils gegen Null. Es ergibt sich also N (t → ∞) = k

k

N

, A(t → ∞) = 0. (37) Das bedeutet, dass sich die Stoffmenge von Radon asymptotisch zu einer S¨ attigungs- grenze bei

Rn

N

bewegt.

4