Mathematik f¨ur Naturwissenschaftler I WS 2020/21 Prof. Andreas Dreuw

Mathematik f¨ ur Naturwissenschaftler I WS 2020/21

Prof. Andreas Dreuw

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1 2 3 4 5 6 Σ

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Basiswissen

Mengen, Ungleichungen, Betrag, Intervalle, Folgen, Rekursion, Vollst¨andige Induktion, Binomialko- effizient, Wahrscheinlichkeitsrechnung

Aufgabe 0.1. Mengen und Ungleichungen

In der Mathematik ist eine Menge definiert als die Zusammenfassung von Elementen. Diese Elemente k¨ onnen willk¨ urlich zusammengestellt sein, aber auch einer Bedingung unterliegen.

(a) Geben Sie die drei elementare Operationen f¨ ur das Rechnen mit Mengen an und ver- anschaulichen Sie diese grafisch.

(b) Gegeben seien folgende Ungleichungen mit x ∈ R : 2x − 3 ≥ 12 − 3x − 20

x + 1 < −4 (1)

L¨ osen Sie die Ungleichungen nach x auf und geben sie die Mengen an, f¨ ur die diese Ungleichungen gelten.

(c) Wenden Sie die in a) genannten Operationen auf die beiden L¨ osungsmengen von b) an.

Aufgabe 0.2. Zahlenmengen und Betrag

(a) Geben Sie Beispiele f¨ ur Zahlenmengen mitsamt ihrer Definition.

(b) Wie ist der Betrag einer Zahl |x|, x ∈ R definiert? Was bedeutet das f¨ ur die Achsen- symmetrie der Betragsfunktion?

(c) Welcher Zusammenhang besteht zwischen |a + b| und |a| + |b|?

Aufgabe 0.3. Intervalle Intervalle sind eine M¨ oglichkeit, Mengen durch die Angabe ihrer Grenzen zu beschreiben.

(a) Es wird zwischen offenen und geschlossenen Intervallgrenzen unterschieden. Worin unterscheiden sich diese?

(b) Geben sie jeweils ein Beispiel f¨ ur ein offenes, halboffenens und geschlossenes Intervall mit der dazugeh¨ origen Ungleichung.

(c) Als uneigentliche Intervalle bezeichnet man jene, die ±∞ als Intervallgrenze aufweisen (stets offen gekennzeichnet). Schreiben Sie die Mengen in Aufgabe 1 (c) in Intervalle um.

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Aufgabe 0.4. Rekursion

(a) Was versteht man unter dem Begriff Rekursion?

(b) Geben Sie ein Beispiel f¨ ur eine rekursive Folge und berechnen Sie das f¨ unfte Folgeglied.

Aufgabe 0.5. Vollst¨ andige Induktion (a) Zeigen Sie P

i=1

(2i − 1) = n

. Aufgabe 0.6. Binomialkoeffizient

(a) Wie ist der Binomialkoeffizient definiert? Schreiben Sie die ersten f¨ unf Zeilen des Pas- cal’schen Dreiecks auf.

(b) Berechnen Sie (a+b)

(entweder mit dem Dreieck oder ¨ uber (a+b)

= P

n k

a

b

).

(c) Wie viele verschiedene M¨ oglichkeiten gibt es, aus einem Topf mit 10 Kugeln 4 zu ziehen, wenn man die Kugeln nicht zur¨ ucklegt und (1) die Reihenfolge der gezogenen Kugeln beachtet wird und (2) die Reihenfolge beliebig ist?

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