Mathematik f¨ ur Naturwissenschaftler I WS 2020/21
Prof. Andreas Dreuw
Ubungsblatt 4¨ Ausgabe: Do 26.11.2020
Abgabe: Fr 04.12.2020 10:00
1 2 3 4 5 Σ
/ 21 P
Basiswissen
Exponenten, Funktionstheorie, Eulersche Zahle, Logarithmus, Kreisfunktionen
Neue Themen
Exponentialfunktionen, Zerfallsgesetz, Gauß- Verteilung, Logarithmusfunktion, Basiswech- sel, Eulersche Formel, Satz von Moivre, kom- plexee-Funktionen
Aufgabe 4.1 (6 P). (Exponentialfunktionen)
Exponentialfunktionen kommen in der Chemie an vielen Stellen vor: zum Beispiel bei der Re- aktionskinetik (Kinetik 1. Ordnung), Zerfalls- und Wachstumsgesetzen (Radioaktiver Zerfall, Bakterielles Wachstum) oder bei der statistischen Verteilung von Eigenschaften von Teilchen (Boltzmann-Faktor, Maxwell-Boltzmann Gleichung).
(a) Vereinfachen Sie soweit wie m¨oglich:
√8
253√8
25 24+3
√3
2922
2m√ amm√
a12m3m√ a4m (4m√
a3m)((−1)3) (1)
(3 P) (b) Folgende reellwertige Funktion ist gegeben
f1(x) = 2ex2 + 3 (2)
Bestimmen Sie den Punkt, an dem die Funktion die Ordinate schneidet.
Bestimmen Sie die Nullstellen der Funktion (Sie brauchen hierf¨ur nicht rechnen)
Untersuchen Sie die Funktion hinsichtlich Symmetrie, Monotonie und Extrema
Wie verh¨alt sich die Funktion f¨urx→ −∞? Wie nennt man diese Eigenschaft?
Wie verh¨alt sich der Graph der Funktionf1(x) zur Funktionf2(x)
f2(x) = 2e−x2 + 3 (3)
(2 P) (c) Folgende Zerfallsfunktion ist gegeben
A(t) =A0e−λt=A0e−tτ (4)
Wof¨ur stehenA0,λ,τ
L¨osung 4.1.
(a)
√8
253√8
25 = 2538 2518 = 2512 = 5 (5) 24+3
√3
2922 = 27
23 22 = 27
25 = 4 (6)
2m√ amm√
a12m3m√ a4m (4m√
a3m)((−1)3)
= a12 a12 a43
a−34 = a12 a12 a43 a34 = a3712 (7) (b) f1(0) = 2 + 3 = 5. Die reine Exponentialfunktion schneidet die Ordinate bei 1.
Die reelle Exponentialfunktion besitzt keine Nullstellen. eine beliebige Verschie- bung nach unten iny-Richtung ergibt sich eine reelle Nullstelle.
keine Symmetrie, streng monoton fallend, keine Extrema
Die Funktion n¨ahert sich f¨ur x→ −∞, asymptotisch dem Wert 3 an.
Der Graph ist an der Ordinate gespiegelt (Umdrehen des Vorzeichens vonx).
(c) A0ist die Anfangsmenge,λdie Zerfallskonstante/Zerfallsfrequenz,τdie (mittlere) Lebensdauer
λ= 1/τ
A(τ) =A0e−ττ =A0e−1=A0· 1
e (8)
τ ist also die Zeit die vergeht bis die derzeitige Menge auf das 1e-fache ihrer Ursprungsmenge abgefallen ist
Aufgabe 4.2 (2 P). (Gauß-Verteilung)
Da die Chemie zu großen Teilen eine empirische Wissenschaft ist, verwendet man h¨aufig Methoden aus Statistik und Stochastik, um die Verteilung von einzelnen Messungen um einen Erwartungswert zu beschreiben. Viele Verteilungen folgen dabei der sogenannten Nor- malverteilung, auch Gauß-Verteilung genannt.
G(x) = 1 σ√
2πe−(x−µ)22σ2 (9)
Wof¨ur stehenσundµ?
Wie sieht die Gauß-FunktionG(x) mitσ= √1
2π undµ= 4 aus?
Skizzieren Sie die Gauss-Verteilung (Achsenbeschriftung, Skalastriche, Markante Punk- te) f¨ur folgende Werte:σ= √1
2π,µ= 4.
Tipp: Sie brauchen keine ausf¨uhrliche Wertetabelle aufstellen. Sie ben¨otigen keinen Taschenrechner. Verwenden Sie die Ann¨aherungen √1
2π ≈0.40 und √1e ≈0.60.
Markieren Sie in der Zeichnungµund die Standardabweichungen σund 2σ.
L¨osung 4.2.
σbezeichnet die Standardabweichung undµden Mittelwert.
G(x) =e−(x−4)2π
Mit der Gleichung f¨urG(x) sieht man:
G(µ±σ) = e−2ππ = 1
√e ≈ 0.6 (10)
G(µ±2σ) = e−4π2π = 1
e2 ≈ 0.64 = 0.362 = 0.1296 (11) Somit sind die markanten Punkte, die (so in etwa) von Hand einzuzeichnen sind:
(3.2|0.1296),(3.6|0.6),(4|1),(4.4|0.6),(4.8|0.1296) (12)
Aufgabe 4.3 (6 P). (Logarithmus)
Um mit Exponentialfunktionen umgehen zu k¨onnen, braucht es eine M¨oglichkeit folgende Gleichung zu l¨osen:
ax=b (13)
Hierf¨ur wird der Logarithmus eingef¨uhrt.
x= logab (14)
Dabei spricht man vom Logarithmusbzur Basisa. Es gibt Kurzschreibweisen f¨ur die wichtigsten Basen:log10b= logb= lgb,logeb= lnb
(a) Vereinfachen Sie soweit wie m¨oglich
(b) Berechnen Sie die Zeit f¨ur welche die Zerfallsgleichung in Aufgabe 4.1 c) auf die H¨alfte
der urspr¨unglichen Menge abf¨allt. (1 P)
(c) Das Isotop 235U (Uran-235) hat eine Halbwertszeit von ungef¨ahr 7·109 Jahren. Be- stimmen Sie die Zerfallsgleichung mit der Exponentialfunktion f¨ur einen Anfangswert von 100kg 235U. Wieviel 235U ist nach 10 Milliarden Jahren noch ¨ubrig? Tipp: Sie k¨onnen folgende Ann¨aherungen verwenden: ln(2)≈0.7, 1e ≈0.36. (2 P) (d) Schreiben Sie das allgemeine Zerfallsgesetz aus Aufgabe 4.1 c) in Exponentialfunktio- nen zur Basis 2 und 10 um. Verwenden Sie f¨ur den Basiswechsel den Logarithmus.
(1 P)
L¨osung 4.3.
(a) 2
2 log2√ 2
−log2 1
4
= 2[log2(4) + 2 log2(√
2)] = 2[2 + 2·0,5] = 6 (16)
logb(1/m√
ab)−logb(bm) = mlogb(a) +mlogb(b)−mlogb(b) = mlogb(a) (17) (b) Ansatz:
1
2A0 = A0e
−tH
τ ⇒ 1
2 = e−tHτ ⇒ln 1
2
= −tH
τ (18)
⇒ln(2) = tH
τ ⇒ tH = ln(2)τ = ln(2)
λ (19)
(c) Zun¨achst ist die Zerfallskonstante zu berechnen:
7·109a = ln(2)
λ ⇒ λ = 0,7
7·109a = 10−101
a (20)
Das Zerfallsgesetz ist nun:
A(t) = 100kg · e−(10−10)t (21) mit tin Jahren und somitA(1010a) =100e kg≈36kg.
(d) Der Basiswechsel ist gegeben durch:
ex = 2log2(e)x ex = 10log10(e)x (22) Damit ist das Zerfallsgesetz in Basis 2 auf Aufgabe 4.1 c) gegeben mit
A(t) =A0·2−τtlog2(e) (23) Und in Basis 10
A(t) =A0·10−τtlog10(e) (24)
Aufgabe 4.4 (3 P). (Komplexee-Funktionen)
Komplexe Zahlen lassen sich in einer Polardarstellung ausdr¨ucken
z=|z|(cosφ+ isinφ) (25) Diese Form kann Dank der Eulerschen Formel in einee-Funktion umgeschrieben
werden.
|z|eiφ=|z|(cosφ+ isinφ) =z (26)
Der Winkel, der Real- und der Imagin¨arteil korrespondieren dabei mit dem Winkel und den Ach- senabschnitten der Zahl in der komplexen Zahlenebene.
(a) Schreiben Sie folgende komplexe Zahlen in ihre Polardarstellung um.
z1=−6−6i z2=−4 (27)
(1 P) (b) Multiplikationen zweier komplexer Zahlen sind in der Eulerschen Darstellung oft ein-
facher als in der Kartesischen. Berechnen Siez1·z3 undz1·z4mit
z3= 4i z4= 3 + 3i (28)
(1 P) (c) Das Umschreiben der Polardarstellung von komplexen Zahlen erlaubt eine neue (kom-
plexe) Definition der Kreisfunktionen cosx=1
2(eix+e−ix) (29)
sinx= 1
2i(eix−e−ix) (30)
Zeigen Sie mit diesen Definitionen die G¨ultigkeit des folgenden Additionstheorems sin(a+b) = sin(a) cos(b) + cos(a) sin(b) (31)
(1 P)
L¨osung 4.4.
(a)
z1:r=p
62+ 62=√
72, φ= 5
4π (32)
z2:r= 4, φ=π (33)
(b) Zun¨achst umschreiben vonz3 undz4:
z = 4eπi, z =√
18eπi (34)
(c)
sin(a) cos(b) + cos(a) sin(b) (37)
= 1 4i
eiaeib+eiae−ib−e−iaeib−e−iae−ib + 1
4i
eibeia+eibe−ia−e−ibeia−e−ibe−ia (38)
= 2 4i
eiaeib−e−iae−ib
(39)
= 1 2i
h
ei(a+b)−e−i(a+b)i
(40)
= sin(a+b) (41)
Aufgabe 4.5 (4 P). (Wurzeln von komplexen Zahlen)
Mit diesen Definitionen kann folgender Zusammenhang erschlossen werden zn = (|z|ei(φ+2kπ))n =|z|nei(φ+2kπ)n=|z|n(cos((φ+2kπ)n)+i sin((φ+2kπ)n)) (42)
Diese Beziehung nennt man oft “Satz von Moivre”. Da φ mit dem Winkel in der komplexen Zahlenebene korrespondiert, muss die Periodizit¨at ber¨ucksichtigt werden (volle Umdrehungen).
Das Ziehen von Wurzeln komplexer Zahlen kann zu zus¨atzlichen Komplikationen f¨uhren.
Versucht man etwa z4 = 1 durch Wurzelziehen aufzul¨osen, so folgt z = √4
1. Folgende L¨osungen existieren: 1,−1, i,−i. Der obere Zusammenhang gibt uns eine M¨oglichkeit in die Hand, mit solchen Problemen umzugehen.
(a) Berechnen Sie alle komplexen Zahlenz∈C, f¨ur welche die nachfolgenden Gleichungen gelten (a, b ∈ R). Geben Sie alle einzigartigen Ergebnisse an. Tipp: Sie brauchen keinen Taschenrechner f¨ur diese Aufgabe und k¨onnen die Ergebnisse in ihrer Euler Form stehen lassen.
(z5)2= 1
√2(1 + i) (z6)4+ 1 = 0 (43) (3 P) (b) Skizzieren Sie die komplexe Ebene f¨ur die L¨osungen vonz5 und z6. Was f¨allt Ihnen
auf? (1 P)
L¨osung 4.5.
(a)
z2= 1
√2(1 + i) = 1 exp iπ
4
(44)
→z= 112 exph
iπ
4 + 2kπi12
(45)
= exp ihπ
8 +kπi
(46) k= 0→z5,1= exp
iπ 8
(47) k= 1→z5,2= exp
i9π
8
(48)
z4=−1 = 1 exp (iπ) (49)
→z= (exp [i (π+ 2kπ)])14 (50)
= exp
i π
4 +1 2kπ
(51) k= 0→z6,1= exp
iπ 4
(52) k= 1→z6,2= exp
i3π
4
(53) k= 2→z6,3= exp
i5π
4
(54) k= 3→z6,4= exp
i7π
4
(55)
(b) Die Punkte formen gleiche Segmente auf dem Einheitskreis, liegen also im ersten Fall π rad und im zweiten Fall π2 rad auseinander. F¨ur n = 2 bilden sie demnach einen Kreisschnitt durch (0|0) und f¨urn >2 ein regelm¨aßiges n-Eck.
