Mathematik f¨ ur Naturwissenschaftler I WS 2020/21

Mathematik f¨ ur Naturwissenschaftler I WS 2020/21

Prof. Andreas Dreuw

Ubungsblatt 6 ¨ Ausgabe: Do 10.12.2020

Abgabe: Fr 18.12.2020 10:00

1 2 3 Σ

/ 21 P

Basiswissen

Ableitungen, Nullstellen, Extrema, Wende- punkte, Sattelpunkte, Symmetrie und Mono- tonie einer Funktion

Neue Themen

lineare Approximation, Umkehrfunktionen der Kreisfunktionen, Hyperbelfunktion, Ab- leitungen von Umkehrfunktionen

Aufgabe 6.1 (6 P). (Ableitung)

Die F¨ ahigkeit Ableitungen von Funktionen zu bilden geh¨ ort zu den Grundf¨ ahigkeiten die ben¨ otigt werden, um im sp¨ ateren Studium Formeln herzuleiten.

(a) Bilden Sie die erste Ableitung folgender Funktionen f ₁ (x) = p

ax ⁵ + bx ² + x f ₂ (x) = cos(e ^x + x ⁻³ ) f ₃ (x) = cosh(ln(2x ² )) (1) f 4 (x) = e ^x 3x

+ e ^x 2x + e ^x 3 f 5 (x) = 1

ln(2) 2 ^x f 6 (x) = x sin(x)

cos(x ² ) (2) (3 P) (b) Finden Sie eine lineare Funktion, die f(x) an der Stelle x = 0 ann¨ ahert

f (x) = x cos(x) (3)

(1 P) (c) Leiten Sie folgende Funktion ab

f(x) = arccos(x) (4)

(2 P)

L¨ osung 6.1.

(a)

f ₁ ⁰ (x) = ((ax ⁵ + bx ² + x)

) ⁰ = 1

3 (5ax ⁴ + 2bx + 1)(ax ⁵ + bx ² + x)

(5) f ₂ ⁰ (x) = − sin(e ^x + x ⁻³ )(e ^x − 3x ⁻⁴ ) (6) f ₃ ⁰ (x) = sinh(ln(2x ² ))( 1

2x ² 4x) = 2x − 1

2x ³ (7)

f ₄ ⁰ (x) = (e ^x (3x

+ 2x + 3)) ⁰ = e ^x ((3x

+ 2x + 3) + (x

+ 2)) (8) f ₅ ⁰ (x) = [ 1

ln(2) e ^ln(2

⁾ ] ⁰ = 1e ^ln(2)x = 2 ^x (9) f ₆ ⁰ (x) = (sin(x) + x cos(x))(cos(x ² )) − (x sin(x))(−2x sin(x ² ))

cos ² (x ² ) (10)

(b) Die lineare Approximation entspricht den ersten beiden Gliedern (konstanter und li- nearer Term) der Taylorreihen-Entwicklung. Sie l¨ asst sich demnach schreiben als:

f (x) ≈ f (x ₀ ) + f ⁰ (x ₀ ) · (x − x ₀ ) (11) wobei die Funktion um den Punkt x ₀ gen¨ ahert wird. Ableiten der obigen Formel liefert:

f ⁰ (x) = cos(x) − x sin(x) (12)

F¨ ur die Stelle x 0 = 0 ergibt sich also:

f ⁰ (0) = cos(0) − 0 · sin(0) = 1 (13) Und demnach ist die lineare Approximation:

f (x) ≈ f (0) + f ⁰ (0) · x = 0 + 1 · x = x (14) (c) Mit dem Satz ¨ uber Funktionen und ihre Umkehrfunktionen f ⁻¹ = g gilt g ⁰ = _f

¹ (g) .

Somit gilt:

f ⁰ (x) = 1

− sin(arccos(x)) = −1

p 1 − cos ² (arccos(x)) (15)

= −1

p 1 − cos(arccos(x)) · cos(arccos(x)) = −1

√ 1 − x ² . (16)

Aufgabe 6.2 (7 P). (Kurvendiskussion)

Die markanten Punkte, wie etwa Nullstellen und Extrema, sind im wissenschaftlichen Alltag h¨ aufig das Interessante an Formeln und gefitteten Kurven. Auf einer Potentialhyperfl¨ ache der Energie von Molek¨ ulen interessiert sich die theoretische Chemie zum Beispiel f¨ ur den energetisch niedrigsten, und damit oft wahrscheinlichsten, Verlauf einer Reaktion.

F¨ uhren Sie eine vollst¨ andige Kurvendiskussion f¨ ur folgende Funktion vor

f (x) = −5x ⁵ + 3x ³ (17)

Bestimmen Sie folgende Eigenschaften:

(a) Maximaler Definitions- und Wertebereich in R (1 P)

(b) Nullstellen (1 P)

(c) Maxima und Minima (2 P)

(d) Wendestellen und Sattelpunkte (2 P)

(e) Symmetrie und Monotonie auf der gesammten Funktion

TIPP: Hier k¨ onnen Sie ¨ uber die bekannten Eigenschaften von Funktionen argumen-

tieren. (1 P)

L¨ osung 6.2. Zun¨ achst berechnen wir die ersten 3 Ableitungen von f (x)

f (x) = −5x ⁵ + 3x ³ (18)

f ⁰ (x) = −25x ⁴ + 9x ² (19)

f ⁰⁰ (x) = −100x ³ + 18x (20)

f ⁰⁰⁰ (x) = −300x ² + 18 (21)

(a) Polynome, also ganzrationale Funktionen, haben stets R sowohl als Definitions- wie auch Wertemenge.

D = R (22)

W = R (23)

(b)

f (x) = 0 (24)

x ³ (−5x ² + 3) = 0 (25)

Satz vom Nullprodukt → x _1,2,3 = 0 (26)

−5x ² + 3 = 0 (27)

x ² = 3

5 (28)

x 4,5 = ± r 3

5 (29)

F¨ ur Nullstellen reicht die Angabe der x-Werte.

(c)

f ⁰ (x) = 0 (30)

x ² (−25x ² + 9) = 0 (31)

Satz vom Nullprodukt → x 1,2 = 0 (32)

−25x ² + 9 = 0 (33)

x ² = 3 ²

5 ² (34)

x 3,4 = ± 3

5 (35)

Einsetzen in f ⁰⁰ (x) (36)

f ⁰⁰ (0) = 0 → M¨ oglicher Sattelpunkt (37) f ⁰⁰ ( 3

5 ) = −2 ∗ 5 ∗ 5 ∗ 2 ∗ 3 ³

5 ³ + 6 ∗ 3 ∗ 3

5 (38)

= −2 ∗ 2 ∗ 3 ³

5 + 6 ∗ 3 ∗ 3

5 = −108 + 54

5 (39)

= −54

5 < 0 → Maximum (40) f ⁰⁰ (− 3

5 ) = 2 ∗ 5 ∗ 5 ∗ 2 ∗ 3 ³

5 ³ + −6 ∗ 3 ∗ 3

5 (41)

= 2 ∗ 2 ∗ 3 ³

5 + −6 ∗ 3 ∗ 3

5 = 108 − 54

5 (42)

= 54

5 > 0 → Minimum (43)

Bei der Frage nach Maxima/Minima, Extrempunkten, Hoch- oder Tiefpunkten sol- len die Punkte angegeben werden.

f ( 3

5 ) = − 5 ∗ 3 ⁵

5 ⁵ + 3 ∗ 3 ³

5 ³ (44)

= −1215 3125 + 81

125 = −1215 + 2025

3125 (45)

= 810

3125 → H ( 810 3125 / 3

5 ) (46)

f (− 3

5 ) = − −5 ∗ 3 ⁵

5 ⁵ + −3 ∗ 3 ³

5 ³ (47)

= 1215 3125 + −81

125 = 1215 − 2025

3125 (48)

= −810

3125 → T ( −810 3125 / 3

5 ) (49)

K¨ urzen wird aber hier nicht erwartet.

(d)

f ⁰⁰ (x) = 0 → x 1 = 0 (50)

−100x ² + 18 = 0 → x 2,3 = ± r 9

50 (51)

f ⁰⁰⁰ ( r 9

50 ) = − 300 ∗ 9

50 + 18 (52)

= −36 < 0 →rechtsgekr¨ ummter Wendepunkt (53) f ⁰⁰⁰ (−

r 9

50 ) = − 300 ∗ 9

50 + 18 (54)

= −36 > 0 →rechtsgekr¨ ummt Wendepunkt (55) f ⁰⁰⁰ (0) = 18 6= 0 →linksgekr¨ ummter Sattelpunk (56) Es wurden nur Wendestellen gefordert, Funktionswerte werden daf¨ ur nicht ben¨ otigt.

F¨ ur den Funktionswerte des Sattelpunktes:

f (0) = 0 → S(0/0) (57)

(e) Argumentation der Symmetrie durch Einsetzen oder den bekannten Eigenschaften der Polynomfunktion

f (−x) = 5x ⁵ − 3x ³ = −f (x) (58)

→Punktsymmetrisch am Ursprung (59) F¨ ur die Monotonie reicht eine Argumentation dass eine Funktion mit einem Maximum und Minimum nicht monoton seien kann.

Aufgabe 6.3 (8 P). (Schiefer Wurf ohne Starth¨ ohe)

Wirft man einen Ball unter einem Wurfwinkel β, so stellt dessen Flugbahn eine Wurfparabel dar. Mithilfe des Superpositionsprinzips k¨ onnen die Bewegungen in horizontale (Koordinate x) und vertikale (Koordinate y) Richtung unabh¨ angig voneinander betrachtet werden. Die entsprechenden Trajektorien (Bewegungsbahnen) lassen sich dann f¨ ur einen Wurf aus einer H¨ ohe h = 0 schreiben als:

x(t) = v 0x t y(t) = v 0y t − g

2 t ² (60)

mit v 0x = v 0 cos(β) und v 0y = v 0 sin(β ). v 0 ist die Abwurfgeschwindigkeit und g ist die Schwerebeschleunigung der Erde, g = 9, 81 ^m _s

.

(a) Berechnen Sie ˙ x = ^dx _dt , ¨ x, ...

x und analog ˙ y, ¨ y und ...

y . Welche physikalischen Gr¨ oßen (mit Einheit) stecken jeweils hinter den einfach, zweifach und dreifach nach der Zeit

abgeleiteten Koordinaten? (2 P)

(b) Welcher Wertebereich f¨ ur β ist von Bedeutung? Gibt es in diesem Winkelbereich Son-

derf¨ alle bez¨ uglich der Trajektorien? (0.5 P)

(c) Nach welcher Zeit wird die maximale Wurfh¨ ohe erreicht? Bestimmen Sie die x- und y- Position des h¨ ochsten Punktes der Wurfparabel in Abh¨ angigkeit von β und v 0 . (1 P) (d) Nach welcher Zeit erreicht der Ball wieder den Boden? Geben Sie die Wurfweite in

Abh¨ angigkeit von β und v 0 an. (0.5 P)

(e) In welchem Verh¨ altnis stehen die maximal erreichten Wurfh¨ ohe und die Wurfweite?

(0.5 P)

(f) Berechnen Sie die maximale Wurfweite in Abh¨ angigkeit des Wurfwinkels β und v ₀ . (g) Schreiben Sie die Trajektorie y(t) in den Ortsraum, das heißt nach y(x), um.

(h) Welche der beiden obigen Bahngleichungen ¨ andert sich f¨ ur einen Wurf aus h 6= 0? Wie sieht diese dann aus? Was ist nun die Wurfzeit und die Wurfweite?

L¨ osung 6.3.

(a)

˙

x = v 0 cos(β), x ¨ = ...

x = 0 y ˙ = v 0 sin(β ) − gt, y ¨ = −g, ...

y = 0 (61)

˙

s = v : Geschwindigkeit (velocity) in ^m _s

¨

s = ˙ v = a : Beschleunigung (acceleration) in ^m _s

... s = ¨ v = ˙ a = j : Ruck (jerk oder auch jolt) in _s ^m

(b)

0 ^◦ ≤ β ≤ 90 ^◦ (62)

F¨ ur einen Wurf mit 90 ^◦ ergibt sich cos(90 ^◦ ) = 0 und somit nur eine Bewegung in y-Richtung. F¨ ur 0 ^◦ verbleibt der Ball in Ruhe, da y(t) < 0 ∀ t > 0.

(c) Hier gilt nat¨ urlich ˙ y = 0, somit ist t = ^v

^sin(β) _g . Durch Einsetzen erh¨ alt man dann als x-Position ^v

cos(β) sin(β)

g = ^v

^sin(2β) _2g und als y-Position ^v

^sin _2g

^(β) .

(d) Mit dem Ergebnis aus dem vorherigen Aufgabenteil und der Symmetrie der Wurfpara- bel sieht man direkt dass es sich um die verdoppelten Werte handelt, also t = ^2v

^sin(β) _g und die Wurfweite ist ^v

^sin(2β) _g .

(e) Mit den Informationen aus den Aufgabenteilen c und d ergibt sich direkt:

y max

x _max = v ² ₀ sin ² (β)

2g · g

2v ₀ ² cos(β) sin(β) = tan(β )

4 . (63)

(f) Zun¨ achst muss die notwendige Randbedingung y(t) = 0 verwendet werden, um die Zeitabh¨ angigkeit aus der Bahngleichung f¨ ur x zu entfernen. Neben t = 0 l¨ ost auch t = ^2v

^sin(β) _g diese Bedingung. Aus Aufgabenteil c hat man also:

x(β) = v ₀ ² sin(2β)

g . (64)

Ableiten nach β ergibt:

dx(β )

dβ = 2v ² ₀ cos(2β)

g . (65)

Nullsetzen f¨ uhrt dann zu:

dx(β) dβ

= 0 ! ⇒ 0 = cos(2β ). (66)

Demzufolge ist die Wurfweite maximal f¨ ur einen Wurfwinkel von β = 45 ^◦ . (g) Aufl¨ osen von x(t) nach der Zeit gibt t(x) = _v ^x

0

cos(β) . Einsetzen in y(t) ergibt anschlie- ßend y(x) = x h

tan(β ) − x _2v

^g

cos

(β)

i .

(h) Es ¨ andert sich die Gleichung f¨ ur y(t), welche einfach um die Anfangsh¨ ohe h erg¨ anzt wird zu y(t) = h + v 0 sin(β )t − ^g ₂ t ² .

Um die Wurfzeit zu berechnen, muss y(t) = 0 gesetzt werden. Es ergibt sich mit der p-q-Formel:

t = 1 g

v 0 sin(β ) ± q

v ² ₀ sin ² (β ) + 2gh

(67) An dieser Stelle sieht man, dass die L¨ osing mit dem ‘+’ die richtige ist, da diese eine positive Zeit liefert:

q

v ₀ ² sin ² (β) + 2gh > v ₀ sin(β) da g, h > 0.

Einsetzen in x(t) ergibt:

x max = v 0 cos(β) g

v 0 sin(β) + q

v ₀ ² sin ² (β) + 2gh

. (68)