Mathematik f¨ ur Naturwissenschaftler I WS 2020/21
Prof. Andreas Dreuw
Ubungsblatt 11¨ Ausgabe: Do 04.02.2021
Abgabe: Fr 12.02.2021 10:00
1 2 3 4 Σ
/ 21 P
Basiswissen
Differentialgleichungen, DGL 1ster Ordnung, Integrale
Neue Themen
Inhomogene DGL 1ster Ordnung, DGL 2ter Ordnung
Aufgabe 11.1(6 P). L¨osen Sie folgende Differentialgleichungen erster Ordnung ausf¨uhrlich.
Im Folgenden gilty=f(x).
(a)
y0+ 2ay=b (1)
(3 P) (b)
y2+ 2y0x= 0 (2)
(3 P)
L¨osung 11.1.
(a) Zun¨achst L¨osung der homogenen Gleichung:
y0+ 2ay = 0 (3)
⇒y0 = −2ay (4)
⇒ Z 1
ydy = Z
−2adx (5)
⇒ln(|y|) = −2ax+c (6)
⇒y = C·e−2ax (7)
Jetzt variieren wir die Konstante C=C(x):
y0 = C0(x)·e−2ax−2aC(x)·e−2ax (8) Einsetzen in die inhomogene Gleichung ergibt:
C0(x) = be2ax (9)
C(x) = b
2ae2ax+ ˜C (10)
Und somit f¨ur die Differentialgleichung:
y = b
2a+ ˜C·e−2ax (11)
1
(b)
2y0x = −y2 (12)
(13) Trennung der Variablen ergibt nun:
Z 1
y2dy = −1
2xdx (14)
⇒ −1
y = −1
2ln(x) +C (15)
⇒y = 1
1
2ln(x)−C = 2
ln(x)−C˜ (16)
Aufgabe 11.2 (6 P). Bestimmen Sie die allgemeine L¨osung der folgenden inhomogenen Differenzialgleichungen
(a) y0(x) +y(x) tan(x) = cos(x) (b) y0(x) +y(x) tan(x) = sin(x)
L¨osung 11.2. Die homogene DGL stimmen sowohl in (a) wie auch (b) ¨uberein, diese l¨osen wir folglich zuerst:
y0(x) +y(x) tan(x) = 0 Dies tun wir erneut durch Trennung der Variablen.
y0
y =−sin(x) cos(x)
⇒
Z y0 y dx=
Z −sin(x) cos(x) dx
⇒ ln|y|= ln|cos(x)|+ ln|C|
⇒ y(x) =−Ccos(x)
Durch Variation der Konstanten (C → C(x)) l¨osen wir dann die inhomogene DGL. Wir setzen also:
y(x) =C(x) cos(x) (17)
⇒y0(x) =C0(x) cos(x)−C(x) sin(x) (18) (a) Wir setzen ein:
C0(x) cos(x)−C(x) sin(x) +C(x) sin(x) = cos(x)
⇒C0(x) cos(x) = cos(x)
⇒C0(x) = 1 bzw. C(x) =x+C∼
Damit ergibt sich die allgemeine L¨osung der inhomogenen DGL:
y(x) =xcos(x) +C∼cos(x)
2
(b) Analog zu (a) ergibt sich
C0(x) = sin(x) cos(x) Integration liefert:
C(x) =−ln|cos(x)|+a,
Damit ergibt sich die allgemeine L¨osung der inhomogenen DGL:
y(x) =acos(x)−cos(x) ln|cos(x)|
Aufgabe 11.3(4 P). In dieser Aufgabe soll die DGL 2. Ordnung gel¨ost werden.
xy00(x) +y0(x) = 4 (19)
l¨osen.
(a) Leiten Siez(x) = xy0(x) nach x ab, wobei y eine beliebige Funktion in x sein darf.
F¨allt ihnen etwas auf? (1 P)
(b) L¨osen Sie Gleichung (19) allgemein, indem Sie zweimal integrieren. (3 P)
L¨osung 11.3.
(a) Wenn wir zur Ableitung vonz(x) die Produktregen anwenden, z0(x) =xy00(x) +y0(x)
erkennen wir, dass wir nun die linke Seite der DGL in (19) erhalten.
(b) Mit dieser Erkenntnis aus (a) k¨onnen wir nun direkt beide Seiten der DGL (19) inte- grieren und erhalten
Z
xy00(x) +y0(x) dx= Z
4 dx
⇒ xy0(x) = 4x+c
Nun stellen wir noch nachy0(x) um und erhalten:
y0(x) = 4 + c x und durch beidseitige Integration
y(x) = 4x+cln|x|+d wobei dauch wieder nur eine Integrationskonstante ist.
Aufgabe 11.4(5 P). Nehmen Sie an, dass
x(t) = 2 sin(3t)−4 cos(3t) eine spezielle L¨osung der Differentialgleichung
¨
x+ω2x= 0
ist. Bringen Sie die L¨osung auf die Form (1 P)
x(t) =c1eıωt+c2e−ıωt
und bestimmen Sie die Amplitude der Schwingung. (4 P)
3
L¨osung 11.4. Wir erinnern an Folgendes:
eiϕ= (cosφ+isinφ) (20)
Anhand dessen k¨onnen wir densin(x) und dencos(x) in komplexer Schreibweise umformu- lieren:
sin(x) = 1
2i ex−e−x cos(x) =1
2 ex+e−x Damit k¨onnen wirx(t) umschreiben:
x(t) = 2
2ı e3it−e−3it
−4
2 e3it+e−3it
= (−2−i
| {z }
=c1
)e3it+ (−2 +i
| {z }
=c2
)e−3it
Mit c1 = −(2 +i), c2 = −2 +i und ω = 3. Wir wollen nun c1 und c2 in die Euler’sche Darstellung umschreiben, dazu ben¨otigen wir zum einen den Betrag und die Winkel zur Abzisse (!!! achtet auf den richtigen Quadranten !!!)(Vergleich ¨Ubungsblatt 1, Aufgabe 2(b))
|c1|=|c2|=√
4 + 1 =√ 5 ϕ1=π+ arctan1
2
| {z }
=:ϕ
=π+ϕ
ϕ2=π−arctan1
2 =π−ϕ Also erhalten wir:
c1=√ 5ei(π+ϕ c1=√
5ei(π−ϕ
Nun ersetzen wir c1 und c2 aus der Gleichung weiter oben und erhalten nach gezieltem Umformen:
x(t) =√
5ei(π+ϕ)e3it+√
5ei(π−ϕ)e−3it
=−√ 5
ei(3t+ϕ)+e−i(3t+ϕ)
=−2√
5 cos(3t+ϕ)
=−2√ 5 cos
3t+ arctan 1
2
woraus wir nun die Amplitude 2√
5 herauslesen k¨onnen.
4
