Mathematik f¨ur Naturwissenschaftler I WS 2020/21 Prof. Andreas Dreuw

(1)

Mathematik f¨ ur Naturwissenschaftler I WS 2020/21

Prof. Andreas Dreuw

Ubungsblatt 5 ¨ Ausgabe: Do 3.12.2020

Abgabe: Fr 11.12.2019 10:00

1 2 3 4 Σ

/ 18 P

Basiswissen

Kreisfunktionen, Harmonische Schwingungen, Additionstheoreme

Neue Themen

Grenzwerte von Funktionen, Stetigkeitsdefini- tionen, Differenzierung von Funktionen

Aufgabe 5.1 (7 P). (Schwebung)

Als Schwebung wird in der Physik eine ¨ Uberlagerung (Superposition) von zwei Schwingungen bezeichnet. Eine solche Superposition ist ein h¨ aufig beobachteter Effekt in der Wellenlehre.

Das einfachste Beispiel ist das Spielen zweier T¨ one deren Frequenzen nahe beieinander liegen.

Es entsteht dabei ein neuer Ton dessen Lautst¨ arke periodisch zu- und abnimmt.

Betrachten Sie zwei harmonische Schwingungen der Form:

f 1 (t) = C cos(ω 1 t) f 2 (t) = C cos(ω 2 t) (1) Die Summe dieser beider Schwingungen l¨ asst sich schreiben als

f (t) = f 1 (t) + f 2 (t) = C [cos(ω 1 t) + cos(ω 2 t)] (2) (a) Man kann die beiden Frequenzen umschreiben zu:

ω 1 = ω 1 + ω 2

2 + ω 1 − ω 2

2 ω 2 = ω 1 + ω 2

2 − ω 1 − ω 2

2 (3)

Außerdem l¨ asst sich der Cosinus mit der komplexen Exponentialfunktion schreiben als:

cos(ωt) = Re(e ^iωt ). (4)

Bringen Sie mithilfe der obigen Identit¨ aten die Funktion f (t) in eine Form, die das

Produkt aus zwei Cosinus-Funktionen darstellt. (3 P)

Der Term mit der Summenfrequenz (ω 1 + ω 2 ) wird als Schwingungsterm bezeichnet, der Term mit der Differnzfrequenz (ω 1 − ω 2 ) Schwebungsterm.

TIPP: Beachten Sie hierbei, dass z + z ^∗ = 2 Re(z) und Re(az) = a Re(z) f¨ ur z ∈ C und a ∈ R gilt.

(b) Zwei Musikinstrumente spielen den Ton a ¹ , das eine Instrument mit 439 Hz, das andere Instrument mit 441 Hz. Berechnen Sie die Schwingungs- und Schwebungsfrequenz des

resultierenden Tones. (1 P)

(c) Wie verhalten sich Schwingungs- und Schwebungsfrequenz f¨ ur den Grenzfall lim

ω

₂

→ω

₁

und f¨ ur den Fall ω 1 >> ω 2 ? (2 P)

(d) Berechnen Sie das Verh¨ altnis von Schwingungs- zu Schwebungsfrequenz. Was l¨ asst sich f¨ ur den Grenzfall lim

ω

₂

→ω

1

und f¨ ur den Fall ω ₁ >> ω ₂ daraus schließen? (1 P)

1

(2)

L¨ osung 5.1.

(a) Ausgehend von der obigen Form f¨ ur f (t) l¨ asst sich die Funktion mit Hilfe von Gleichung (4) umschreiben zu:

f (t) = C

Re(e ^iω

¹

^t ) + Re(e ^iomega

²

^t )

(5)

= C Re

(e ^iω

¹

^t ) + (e ^iω

²

^t )

(6)

= C Re h

e ⁱ

^ω^{1 +}²^ω²

^t

e ⁱ

^ω¹^−ω² ²

^t + e ⁻ⁱ

^ω¹^−ω² ²

^t i

(7) Hier ist im letzten Schritt zu Gleichung (7) nicht viel passiert! Im Prinzip wurde der Ausdruck lediglich ’aufgebl¨ aht’:

e ^iω

¹

^t = e

^ω^{1 +}²^ω²

· e

^ω¹^−ω² ²

(8) Mit z = e ⁱ

^ω¹^−ω² ²

^t und z + z ^∗ = 2 Re(z) l¨ asst sich die runde Klammer in einen Cosinus umschreiben:

f (t) = C Re

e ⁱ

^ω^{1 +}²^ω²

^t · 2 cos

ω 1 − ω 2

2 t

(9) Nun folgt mit Re(az) = a Re(z)

f (t) = 2C cos

ω 1 − ω 2

2 t

· cos

ω 1 + ω 2

2 t

(10) (b) Es gilt nun ω 1 = 441 Hz und ω 2 = 439 Hz. Wie schon beschrieben ist Schwingungs-

frequenz

ω schwing = ω 1 + ω 2

2 = 440 Hz (11)

Und die Schwebungsfrequenz

ω schweb = ω 1 − ω 2

2 = 1 Hz (12)

(c) F¨ ur lim

ω

2

→ω

1

: Schwingung: lim

ω

2

→ω

1

ω

1

+ω

2

2 = ω 1 , Schwebung: lim

ω

2

→ω

1

ω

1

−ω

2

2 = 0.

F¨ ur ω 1 >> ω 2 : Schwingung: ^ω

¹

^+ω ₂

²

≈ ^ω ₂

¹

, Schwebung: ^ω

¹

^−ω ₂

²

≈ ^ω ₂

¹

. (d) Verh¨ altnis: ^ω _ω

¹

^+ω

²

1

−ω

2

F¨ ur lim

ω

₂

→ω

₁

: lim

ω

₂

→ω

₁

ω

₁

+ω

₂

ω

₁

−ω

2

= ∞, f¨ ur ω 1 >> ω 2 : ^ω _ω

¹

^+ω

²

1

−ω

2

≈ 1.

Aufgabe 5.2 (5 P). (Grenzwerte)

Grenzwertbetrachtungen sind unter anderem wichtig f¨ ur Experimente bei denen der wahre Wert eventuell nicht direkt gemessen werden kann, sondern die Messungen sich ihm nur ann¨ ahern.

(a) Berechnen Sie folgende Grenzwerte (2 P)

x→∞ lim

x ³ + 2x + 4

(x − 2)(x + 2) lim

x→0

√ 5 − x − √ 5

x lim

x→∞

5 − x

3 + x lim

x→

^π₂

sin(2x) cos(x) (13)

(b) Folgende Grenzwerte sind bekannt (1 P)

x→a lim f (x) = 3 lim

x→a g(x) = 4 lim

x→a h(x) = 5 (14) Verwenden Sie diese Angaben um folgenden Grenzwert zu berechnen

x→a lim

5h(x) g(x)

^f(x) ! + lim

x→a

h(x)

g(x) − log ₄ g(x) ³

+ lim

x→b g(x) (15)

2

(3)

(c) Vollf¨ uhren Sie eine beidseitige Grenzwertbetrachtung f¨ ur folgende Funktion im Punkt

x 0 = 1 (2 P)

f (x) = x ⁴ + x ² + 1

x ³ − 1 (16)

Was f¨ allt Ihnen auf?

L¨ osung 5.2.

(a)

x→∞ lim

x ³ + 2x + 4

(x − 2)(x + 2) = lim

x→∞

x ³ + 2x + 4

x ² − 4 = lim

x→∞

x + ² _x + _x ⁴

2

(1 − _x ⁴

2

) = ∞ (17)

x→0 lim

√ 5 − x − √ 5

x = lim

x→0

( √

5 − x − √ 5)( √

5 − x + √ 5) x( √

5 − x + √

5) = lim

x→0

−x x( √

5 − x + √

5) = − 1 2 √ 5 (18)

x→∞ lim 5 − x

3 + x = lim

x→∞

5 x − 1

3 x + 1 = −1 (19)

lim

x→

^π₂

sin(2x)

cos(x) = lim

x→

^π₂

2 sin(x) cos(x)

cos(x) sin(x)

= lim

x→

^π₂

2 sin ² (x) cos(x)

cos(x) = lim

x→

^π₂

2 sin ² (x) = 2 (20) (b) Durch Einsetzen der jeweiligen Grenzwerte erh¨ alt man den folgenden Ausdruck:

25 4

³ +

5 4 − 1

³ + lim

x→b g(x) = 25 ³ − 1 64 + lim

x→b g(x) (21)

(c) Zun¨ achst die Grenzwerte f¨ ur den Z¨ ahler lim

x→1

⁺

x ⁴ + x ² + 1 = lim

x→1

⁻

x ⁴ + x ² + 1 = 1 (22) Und nun die Grenzwerte f¨ ur den Nenner:

lim

x→1

⁺

x ³ − 1 = lim

x→1

⁺

1 − 1

x ³ = 0 ⁺ lim

x→1

⁻

x ³ − 1 = 0 ⁻ (23) Somit ergibt sich f¨ ur die gesamte Funktion:

lim

x→1

⁺

x ⁴ + x ² + 1

x ³ − 1 = ∞ lim

x→1

⁻

x ⁴ + x ² + 1

x ³ − 1 = −∞ (24)

Demnach entspricht im Punkt x 0 = 1 der linksseitige Grenzwert der Funktion nicht dem rechtsseitigen Grenzwert. Das heißt also, dass die Funktion f (x) an der Stelle x 0 = 1 nicht stetig ist.

Aufgabe 5.3 (2 P). (Stetigkeit) Folgende Funktionen sind gegeben

f (x) = 4x ² + 3 g(x) =

( x ² x < 3

x + 10 x ≥ 3 (25)

Untersuchen Sie die Funktionen f (x) und g(x) auf ihre Stetigkeit im Punkt x ₀ = 3. Verwen- den Sie ihre links- und rechtsseitigen Grenzwerte f¨ ur die ¨ Uberpr¨ ufung. (2 P)

3

(4)

L¨ osung 5.3.

x 0 ∈ R

lim

x→3

⁺

f (x) = lim

x→3

⁺

4x ² + 3 = 39 (26)

lim

x→3

⁻

f (x) = lim

x→3

⁻

4x ² + 3 = 39 (27)

lim

x→3

⁺

g(x) = 13 (28)

lim

x→3

⁻

Mathematik f¨ur Naturwissenschaftler I WS 2020/21 Prof. Andreas Dreuw

Mathematik f¨ ur Naturwissenschaftler I WS 2020/21

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Ubungsblatt 5 ¨ Ausgabe: Do 3.12.2020

Abgabe: Fr 11.12.2019 10:00

1 2 3 4 Σ

/ 18 P

Basiswissen

Kreisfunktionen, Harmonische Schwingungen, Additionstheoreme

Neue Themen

Grenzwerte von Funktionen, Stetigkeitsdefini- tionen, Differenzierung von Funktionen

Aufgabe 5.1 (7 P). (Schwebung)

Als Schwebung wird in der Physik eine ¨ Uberlagerung (Superposition) von zwei Schwingungen bezeichnet. Eine solche Superposition ist ein h¨ aufig beobachteter Effekt in der Wellenlehre.

Das einfachste Beispiel ist das Spielen zweier T¨ one deren Frequenzen nahe beieinander liegen.

Es entsteht dabei ein neuer Ton dessen Lautst¨ arke periodisch zu- und abnimmt.

Betrachten Sie zwei harmonische Schwingungen der Form:

f 1 (t) = C cos(ω 1 t) f 2 (t) = C cos(ω 2 t) (1) Die Summe dieser beider Schwingungen l¨ asst sich schreiben als

f (t) = f 1 (t) + f 2 (t) = C [cos(ω 1 t) + cos(ω 2 t)] (2) (a) Man kann die beiden Frequenzen umschreiben zu:

ω 1 = ω 1 + ω 2

2 + ω 1 − ω 2

2 ω 2 = ω 1 + ω 2

2 − ω 1 − ω 2

2 (3)

Außerdem l¨ asst sich der Cosinus mit der komplexen Exponentialfunktion schreiben als:

cos(ωt) = Re(e iωt ). (4)

Bringen Sie mithilfe der obigen Identit¨ aten die Funktion f (t) in eine Form, die das

Produkt aus zwei Cosinus-Funktionen darstellt. (3 P)

Der Term mit der Summenfrequenz (ω 1 + ω 2 ) wird als Schwingungsterm bezeichnet, der Term mit der Differnzfrequenz (ω 1 − ω 2 ) Schwebungsterm.

TIPP: Beachten Sie hierbei, dass z + z ∗ = 2 Re(z) und Re(az) = a Re(z) f¨ ur z ∈ C und a ∈ R gilt.

(b) Zwei Musikinstrumente spielen den Ton a 1 , das eine Instrument mit 439 Hz, das andere Instrument mit 441 Hz. Berechnen Sie die Schwingungs- und Schwebungsfrequenz des

resultierenden Tones. (1 P)

(c) Wie verhalten sich Schwingungs- und Schwebungsfrequenz f¨ ur den Grenzfall lim

ω

→ω

und f¨ ur den Fall ω 1 >> ω 2 ? (2 P)

(d) Berechnen Sie das Verh¨ altnis von Schwingungs- zu Schwebungsfrequenz. Was l¨ asst sich f¨ ur den Grenzfall lim

ω

→ω

und f¨ ur den Fall ω 1 >> ω 2 daraus schließen? (1 P)

1

L¨ osung 5.1.

(a) Ausgehend von der obigen Form f¨ ur f (t) l¨ asst sich die Funktion mit Hilfe von Gleichung (4) umschreiben zu:

f (t) = C

Re(e iω

t ) + Re(e iomega

t )

(5)

= C Re

(e iω

t ) + (e iω

t )

(6)

= C Re h

e i

t

e i

t + e −i

t i

(7) Hier ist im letzten Schritt zu Gleichung (7) nicht viel passiert! Im Prinzip wurde der Ausdruck lediglich ’aufgebl¨ aht’:

e iω

t = e

· e

(8) Mit z = e i

t und z + z ∗ = 2 Re(z) l¨ asst sich die runde Klammer in einen Cosinus umschreiben:

f (t) = C Re

e i

t · 2 cos

ω 1 − ω 2

2 t

(9) Nun folgt mit Re(az) = a Re(z)

f (t) = 2C cos

ω 1 − ω 2

2 t

· cos

ω 1 + ω 2

2 t

(10) (b) Es gilt nun ω 1 = 441 Hz und ω 2 = 439 Hz. Wie schon beschrieben ist Schwingungs-

frequenz

ω schwing = ω 1 + ω 2

2 = 440 Hz (11)

cos(ωt) = Re(e ^iωt ). (4)

TIPP: Beachten Sie hierbei, dass z + z ^∗ = 2 Re(z) und Re(az) = a Re(z) f¨ ur z ∈ C und a ∈ R gilt.

(b) Zwei Musikinstrumente spielen den Ton a ¹ , das eine Instrument mit 439 Hz, das andere Instrument mit 441 Hz. Berechnen Sie die Schwingungs- und Schwebungsfrequenz des

und f¨ ur den Fall ω ₁ >> ω ₂ daraus schließen? (1 P)

Re(e ^iω

^t ) + Re(e ^iomega

^t )

(e ^iω

^t ) + (e ^iω

^t )

e ⁱ

^t

e ⁱ

^t + e ⁻ⁱ

^t i

e ^iω

^t = e

(8) Mit z = e ⁱ

^t und z + z ^∗ = 2 Re(z) l¨ asst sich die runde Klammer in einen Cosinus umschreiben:

e ⁱ

^t · 2 cos

F¨ ur ω 1 >> ω 2 : Schwingung: ^ω

^+ω ₂

≈ ^ω ₂

, Schwebung: ^ω

^−ω ₂

≈ ^ω ₂

. (d) Verh¨ altnis: ^ω _ω

^+ω

= ∞, f¨ ur ω 1 >> ω 2 : ^ω _ω

^+ω

x ³ + 2x + 4

^f(x) ! + lim

g(x) − log ₄ g(x) ³