Mathematik f¨ ur Naturwissenschaftler I WS 2020/21
Prof. Andreas Dreuw
Ubungsblatt 1¨ Ausgabe: Do 5.11.2020
Abgabe: Fr 13.11.200 10:00
1 2 3 4 Σ
/ 21 P
Basiswissen
Mengenlehre, Kartesische Koordinatensyste- me, Polarkoordinaten, Trigonometrie, Expo- nentenrechenregeln
Neue Themen
Komplexe Zahlen (Imagin¨are Einheit, Defini- tion, Rechenregeln, komplex konjugierte Zah- len, Gaußsche Zahlenebene, Euler Formel)
Aufgabe 1.1 (6 P). Manche vermeintlich einfachen quadratische Gleichungen wie x2+ 1 = 0
k¨onnen im Raum der reellen Zahlen nicht gel¨ost werden. Um dies zu erm¨oglichen braucht es die Einf¨uhrung sogenannterkomplexer Zahlen. Die grundlegende Definition des kom- plexen Zahlenbereichs ist die Einf¨uhrung derimagin¨aren Einheit i, mit
i2=−1 Komplexe Zahlen sind definiert ¨uber
C={z=x+ iy|x, y∈R}
Die komplexen Zahlen sind definiert als Summe einer reellen Zahl und einer reellen Zahl mal der imagin¨aren Einheit.
(a) Folgende (reelle) Zahlen
g= 4a+ 3 h=3
2a+ 14 (1)
bestehen ebenfalls aus zwei Teilen (wobei a∈R\ {0}). Berechnen und vereinfachen Sie soweit wie m¨oglich
g+h g−h g·h g
h (2)
(2 P) (b) Komplexe Zahlen setzen sich nun analog zusammen. Die Variablea wird nun ersetzt durch die imagin¨are Einheit i∈C, Als Beispiel seien folgende komplexe Zahlen gege- ben:
z1=−3−12i z2= 5i−6 (3)
Berechnen und vereinfachen Sie soweit wie m¨oglich (sodass kein i im Nenner erhalten bleibt) unter Verwendung von i2 = −1. Markieren sie außerdem f¨ur jedes Ergebnis ihren Real- und Imagin¨arteil
z1+z2 z1−z2 z1·z2 z1 z2
(4) (2 P)
1
(c) Zus¨atzlich ist zu jeder komplexen Zahl diekomplex konjugierte Formals
z∗=x−iy (5)
definiert. Bei der konjugierten Form einer komplexen Zahl ¨andert sich also das Vorzei- chen ihres Imagin¨arteils. Geben sie die konjugierte Form der komplexen Zahlenz1, z2
an. (1 P)
(d) Mithilfe der komplex konjugierten Zahl kann man nun den Betrag einer komplexen Zahl durch|z|=√
z·z∗ berechnen. Bestimmen Sie den Betrag vonz1, z2. (1 P)
L¨osung 1.1.
(a)
g+h= 5.5a+ 17 (6)
g−h= 2.5a−11 (7)
g·h= 6a2+ 60.5a+ 42 (8)
g
h = 4a
1.5a+ 14+ 3
1.5a+ 14 (9)
(b)
z1+z2=−7i−9 (10)
z1−z2=−17i + 3 (11)
z1·z2= 57i + 78 (12)
z1
z2
=z1·z∗2
z2·z∗2 (13)
=−42 61 +87i
61 (14)
(c)
z1=−3 + 12i (15)
z2=−5i−6 (16)
(d)
|z1|=p
z1·z1∗=√
153 (17)
|z2|=√
61 (18)
Aufgabe 1.2(5 P). Mathematische Konstrukte, die aus einem Zahlenpaar bestehen, nennt man Dupel. Ein Beispiel hierf¨ur sind Punkte in zweidimensionalen Koordinatensystemen P(x|y).
(a) Zeichnen sie folgende Punkte in ein kartesisches Koordinatensystem ihrer Wahl ein und berechnen Sie den Winkel zur Abzisse und den Abstand zum Ursprung. Beschriften Sie außerdem die Quadranten des Koordinatensystems. Achten Sie auf die richtige Beschriftung der Zeichnung und der korrekten Angabe des Winkels im mathematischen Sinne (Tipp: Achten Sie hierf¨ur auf den Quadranten, indem sich der Punkt befindet).
(3 P)
P= (4| −4) Q= (0|1) (19)
2
(b) Komplexe Zahlen k¨onnen ebenfalls als Zahlenpaar/Dupel verstanden werden. Das kor- respondierende Koordinatensystem, mit dem Realanteil auf der Abzisse und dem Ima- gin¨arteil auf der Ordinate nennt sich Gaußsche/komplexe Zahlenebene. Tragen sie folgende Zahlen in die Gaußsche Zahlenebene ein und berechnen sie den Winkel
zur Abzisse. (2 P)
z3=−2 + 2i z4=−3i (20)
L¨osung 1.2.
(a)
P : r=√
32, φ= 315◦ (21)
Q : r= 1, φ= 90◦ (22)
Der Winkel φwird im mathematischen Sinn immer gegen den Uhrzeigersinn angege- ben. Es wird das Intervall [0;2π) verwendet.
(b)
z3 : r=√
8, φ= 135◦ (23)
z4 : r= 3, φ= 270◦ (24)
Aufgabe 1.3 (1 P). Zeigen Sie f¨ur eine allgemeine komplexe Zahl z =a+bi, mitz ∈C unda, b∈R, dass der Abstand zum Ursprung in der komplexen Zahlenebene gleich der in Aufgabe 1.1 d) gegebenen Definition des Betrags ist.
|z|=√
z·z∗=p
a2+b2 (25)
L¨osung 1.3.
|z|=√
z·z∗=p
(a+ ib)·(a−ib) (26)
=p
a2−aib+aib−i2b2=p
a2+b2 (27)
Aufgabe 1.4(9 P). Neben kartesischen Koordinaten (P(x|y)) gibt es im zweidimensionalen Raum noch Polarkoordinaten (P(r|φ)).
(a) Geben Sie die allgemeinen Formeln f¨ur die Transformierung von Polarkoordinaten in kartesische Koordinaten an. Transformieren Sie anschließend die PunkteP undQaus Aufgabe 2 in Polarkoordinaten und geben Sie den korrespondierenden Winkel und den Abstand zum Ursprung an. Tipp: Achten Sie f¨ur den Winkel auf den Quadranten,
indem der Punkt sich befindet. (2 P)
(b) Auch komplexe Zahlen k¨onnen mit Polarkoordinaten in der Gaußschen Zahlenebene angegeben werden. Tun Sie dies f¨ur die Punktez3 undz4aus Aufgabe 2. (1 P)
3
(c) Eine weitere M¨oglichkeit komplexe Zahlen auszudr¨ucken ist ¨uber dieEulersche For- mel
reiφ=r(cos(φ) + isin(φ)) (28)
Geben Sie die Punkte z3 und z4 aus Aufgabe 2 mithilfe der Eulerschen Formel an.
(1 P)
(d) Berechnen Sie
z3·z4 z3/z4 (29)
Verwenden Sie hierf¨ur die Darstellung mit der Eulerschen Formel. (2 P) (e) Geben Sie den Betrag und die komplex konjugierten Formen von z3 und z4 in der Eulerschen Darstellung an. Welcher geometrischen Operation entspricht die komplexe
Konjugation? (3 P)
L¨osung 1.4.
(a)
x(r, φ) =r·cos(φ) (30)
y(r, φ) =r·sin(φ) (31)
P : r=√
32, φ= 315◦ (32)
Q : r= 1, φ= 90◦ (33)
(b)
z3 : r=√
8, φ= 135◦ (34)
z4 : r= 3, φ= 270◦ (35)
(c)
z3=√
8·ei·135◦ (36)
z4= 3·ei·270◦ (37)
(38) (d)
z3·z4= 3√
8·ei·405◦= 3√
8·ei·45◦ (39)
z3/z4=
√8
3 ·e−i·135◦=
√8
3 ·ei·225◦ (40)
(e)
|z3|=√
8, z3∗=√
8·e−i·135◦ (41)
|z4|= 3, z∗4= 3·e−i·270◦ (42) Die komplexe Konjugation entspricht einer Spiegelung an der reellen Achse (x-Achse), dass bedeutet, dass der Polarwinkelφaufφ∗= 360◦−φ¨ubergeht.
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