Mathematik f¨ur Naturwissenschaftler I WS 2020/21 Prof. Andreas Dreuw

Mathematik f¨ ur Naturwissenschaftler I WS 2020/21

Prof. Andreas Dreuw

Ubungsblatt 2 ¨ Ausgabe: Do 12.11.2020

Abgabe: Fr 20.11.2020 10:00

1 2 3 4 5 Σ

/ 21 P

Basiswissen

Quadratische Gleichungen, Nullstellen, Betrag, Kartesische Koordinatensysteme, Variablen, Aquivalenzumformung, ¨ Expo- nenten, Komplexe Zahlen, Symmetrie, Definitionsl¨ ucke, Periodizit¨ at, Extrema

Neue Themen

Funktionstheorie, Polynome n-ten Grades, Komplexe Polynome n-ten Grades, Defini- tionsbereich, Wertebereich, Monotonie, Be- tragsfunktion, Komposition von Funktionen, Umkehrfunktion

Aufgabe 2.1 (8 P). Funktionstheorie

Unter einer Funktion versteht man den Vorgang der Abbildung einer Definitionsmenge auf eine Wertemenge.

f : D → W

Einfach gesagt wird jedem Element x einer Menge an Zahlen D genau ein Element y einer Menge an Zahlen W zugewiesen.

In der Forschung produziert man viele solcher Zahlenpaare durch Messvariablen und Messwerte. Diese werden in Wertetabellen zusammengefasst.

Messvariablen −3 −2 −1 0 1

Messwerte 12 6 4 6 12

Tabelle 1: Wertetabelle

(a) ˆ Zeichnen Sie die Werte aus Tabelle 1 in einem geeigneten Koordinatensystem ein.

Achten Sie auf die richtigen Beschriftungen.

ˆ Messwerte werden h¨ aufig mit Kurvenverl¨ aufen kontinuierlicher Funktionen an- gen¨ ahert. Die passende Funktion f¨ ur die obigen Werte hat die Form

f ₁ (x) = ax ² + bx + c (1)

Bestimmen Sie die Koeffizienten der Funktion durch Einsetzen oder Ablesen.

ˆ Untersuchen Sie die Funktion f ₁ (x) auf folgende Eigenschaften – Symmetrie

– Monotonie – Definitionsl¨ ucken – Periodizit¨ at

– Extrema (sie brauchen keine Kurvendiskussion hierf¨ ur durchzuf¨ uhren)

(3 P) (b) Untersuchen Sie die Funktionen in Abbildung 1 auf die oben genannten angegebenen

Eigenschaften. (3 P)

-30 -20 -10 0 10 20 30

-3 f(x) -2 -1 0 1 2 3

x Funktion 2

-1 0 1 2 3 4 5

-3 -2 -1 0 1 2 3

f(x)

x Funktion 3

0 5 10 15 20 25

-3 -2 -1 0 1 2 3

f(x)

x Funktion 4

-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 f(x)

x Funktion 5

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-4 -3 -2 -1 f(x) 0 1 2 3 4

x Funktion 6

-6 -4 -2 0 2 4 6

-6 f(x) -4 -2 0 2 4 6

x Funktion 7

Abbildung 1: Aufgabe 1 b): Untersuchen Sie folgende Funktionen auf die oben genannten

Eigenschaften.

(c) Folgende Funktion ist gegeben

f 8 (x) = |x|x (2)

f¨ ur D f

= {x ∈ R \ 0}

ˆ Erstellen Sie eine geeignete Wertetabelle f¨ ur das Intervall [−5; 5] im Definitions- bereich der obigen Funktion.

ˆ Zeichnen Sie die Funktion und geben Sie den gesamten Wertebereich in Intervall- schreibweise an.

ˆ Untersuchen Sie die Funktion auf Symmetrie, Monotonie, Periodizit¨ at, Extrema (ohne Kurvendiskussion) und Definitionsl¨ ucken

(2 P)

L¨ osung 2.1.

(a) ˆ Zu einer richtigen Zeichnung in unserer Vorlesung geh¨ oren: Wertetabelle (ge- geben), Achsenbeschriftungen (Name, Unterteilungsstriche, Pfeil, (Einheit)), f¨ ur Funktionen: Markierung der Nullstellen, Extrema und Beschriftung der Funkti- on. F¨ ur eine Skizze reicht der korrekte Kurvenverlauf, korrekte markante Punkte (Nullstellen, Extrema. . . ) und korrekte Achsenbeschriftung (Bezeichnung, min.

ein Unterteilungsstrich, (Einheit)).

ˆ Tabelle 1 formuliert f¨ unf Gleichungen zur Bestimmung von drei Variablen, es

gibt also verschiedene L¨ osungswege. Der einfachste L¨ osungsweg beginnt mit dem

Wertepaar (0,6), aus dem folgt c = 6. die beiden anderen Koeffizienten sind a = 2

und b = 4.

ˆ Symmetrie: Nicht symmetrisch zur Ordinate, Achsensymmetrie zu einer Achse durch (-1,4), die parallel zur Ordinate verl¨ auft.

Monotonie: Auf D keine Monotonie, streng monoton fallend auf ] − ∞, −1[ und streng monoton steigend auf ] − 1, ∞[

Definitionsl¨ ucken und Periodizit¨ at: nicht vorhanden Extrema: ein globales Minimum bei (-1,4)

(b) Funktion 2: Punktsymmetrie im Ursprung, monoton steigend

Funktion 3: Achsensymmetrie an der Ordinate, monoton steigend/fallend Funktion 4: Streng monoton fallend

Funktion 5: Punktsymmetrie im Ursprung, streng monoton fallend, da Definitionsl¨ ucke bei x = 0

Funktion 6: Achsensymmetrie an der Ordinate;

streng monoton fallend f¨ ur ]nπ, (n + ¹ ₂ )π[, streng monoton steigend f¨ ur ](n + ¹ ₂ )π, (n + 1)π[, n ∈ Z ;

π-Periodizit¨ at, Maxima bei nπ und Minima bei (n + ¹ ₂ )π mit n ∈ Z

Funktion 7: Punktsymmetrie im Ursprung, streng monoton steigend, Definitionsl¨ ucken bei (n + ¹ ₂ )π mit n ∈ Z , π-Periodizit¨ at

Von den Studenten wird eine Monotoniebetrachtung einzelner Intervalle nicht unbe- dingt gefordert.

(c) Siehe Abbildung 2 und Tabelle 2. W = R \ 0. Punktsymmetrisch, Streng monoton steigend. Nicht periodisch. D = R 0. Keine Globalen Maxima oder Minima.

x −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5

y −25 −16 −9 −4 −1 1 4 9 16 25

Tabelle 2: Wertetabelle

-30 -20 -10 0 10 20 30

-6 f(x) -4 -2 0 2 4 6

x Funktion 8

Abbildung 2: L¨ osung Aufgabe 1.c)

Aufgabe 2.2 (3 P). (a) Folgende reellwertige Funktionen sind gegeben g(x) = x ³ + 8x ² − 5x − 3 h(x) = ( √

8x − √

2) ² − 3x − 5 (3)

Berechnen Sie

g + h g − h g · h g

h (4)

und geben Sie f¨ ur die Ergebnisse den jeweiligen Definitionsbereich und Wertebereich an. Sie brauchen hierf¨ ur keinen Taschenrechner und k¨ onnen Br¨ uche stehenlassen.(2 P) (b) Folgende Funktionen sind gegeben

f(x) = 2x ² g(x) = x + 4 h(x) = √

x (5)

Bilden Sie f (g(x)), g(f (x)), g(h(x)), h(g(x)). Welche allgemeine Aussage bez¨ uglich der Komposition von Funktionen k¨ onnen Sie anhand dieser Beispiele treffen. (1 P) L¨ osung 2.2.

(a) g + h = x ³ + 16x ² − 16x − 6 g − h = x ³ + 6x

g · h = 8x ⁵ + 53x ⁴ − 131x ³ + 7x ² + 48x + 9

g

h = ^x

_8x ^+8x

_−11x−3

^−5x−3

Der Werte-und Definitionsbereich ist bei den Funktionen f +g, f −g, f ·g sind die kom- pletten reellen Zahlen R, da das f¨ uhrenden Polynom eine ungerade Potenz aufweist.

f /g hat zwei L¨ ucken im Definitionsbereich, bei x = ¹¹ ₁₆ ±

√ 217 16 . (b) f (g(x)) = 2(x + 4) ² = 2x ² + 16x + 32, g(f (x)) = 2x ² + 4

g(h(x)) = √

x + 4, h(g(x)) = √ x + 4

Die Komposition von Funktionen ist im Allgemeinen nicht kommutativ, das heißt, in der Regel gilt f (g(x)) 6= g(f (x)). Beispiel einer Ausnahme: f (x) = x− 2, g(x) = x+ 3.

Aufgabe 2.3 (3 P). Umkehrfunktion

F¨ ur alle bijektiven Funktionen f : x → y existieren Umkehrfunktionen f ⁻¹ : y → x.

Eine Funktion ist bijektiv wenn sie jedem Element (hier x) ihrer Ursprungsmenge genau ein ein- deutiges Element (hier y) der Zielmenge zuweist. Das heißt es gibt keine doppelte Belegung von y.

f : x → y bedeutet “f¨ ur f gilt x wird abgebildet auf y”.

Die Umkehrfunktion (f ⁻¹ (x), bedeutet NICHT _f(x) ¹ ) einer Funktion erh¨ alt man indem man die Formel nach x = · · · aufl¨ ost und anschließend x und y vertauscht. Man erh¨ alt schlussendlich wieder eine Funktion mit f (x) = y = · · · .

(a) Folgende Funktionen sind gegeben f (x) = ( √

5)x + 3 g(x) = 4

x + 12 (6)

Geben Sie die jeweiligen Definitions- und Wertebereiche der obigen Funktionen an.

Bilden Sie dann deren Umkehrfunktionen. Geben Sie im Anschluss die Definitions- und Wertebereiche der Umkehrfunktionen an. Was f¨ allt Ihnen auf? (2 P) (b) Welcher geometrischen Operation im kartesischen Koordinatensystem entspricht die

Umkehrfunktion? (1 P)

L¨ osung 2.3.

(a) D f = R , W f = R , D g = R \ 0, W g = R \ 12 f ⁻¹ (x) = ^{x−3 √}

5 , g ⁻¹ (x) = _x−12 ⁴

D f

= R , W f

= R , D g

= R \ 12, W f

= R \ 0

Defintions- und Wertebereich sind f¨ ur die Umkehrfunktion vertauscht.

(b) Spiegelung an der Winkelhalbierenden f(x) = x.

Aufgabe 2.4 (4 P). Polynome n-ten Grades haben die allgemeine Form P (x) =

n

X

i=0

a i x ⁱ (7)

(a) Wieviele Nullstellen besitzt ein Polynom n-ten Grades? Wieviele reelle Nullstellen

besitzt solch ein Polynom maximal? (1 P)

(b) Das Polynom f (x) besitzt folgende Nullstellen: x _1/2 = 5, x ₃ = −2, x ₄ = 2. Leiten Sie daraus die faktorisierte Form des Polynoms ab und vereinfachen Sie diese zur ¨ ublichen

Potenzschreibweise. (2 P)

(c) Betrachten sie die reellwertige Funktion

f(x) = (x + 4) ²

x ² − 16 (8)

Geben Sie den Definitionsbereich und die Nullstellen der Funktion an. (1 P)

L¨ osung 2.4.

(a) Ein Polynom n-ten Grades besitzt maximal n Nullstellen, die sowohl reellwertig als auch komplexwertig sein k¨ onnen. Falls keine komplexwertige Nullstelle vorliegt, kann es maximal n reellwertige Nullstellen geben.

(b) f (x) = (x − 5) ² · (x + 2) · (x − 2) = (x − 5) ² · (x ² − 4) = x ⁴ − 10x ³ + 21x ² + 40x − 100

(c) Die Funktion l¨ asst sich umschreiben zu

f (x) = (x + 4)(x + 4)

(x + 4)(x − 4) = x + 4

x − 4 (9)

Somit ist D ^f = R \ 4 und eine Nullstelle bei x = −4.

Aufgabe 2.5 (3 P). (a) Betrachten Sie das Polynom

f(x) = (x + 5i)(x − 5i)(x − 2i)(x + 2i) (10) Bestimmen Sie alle Nullstellen des Polynoms und schreiben Sie das Polynom in die

¨

ubliche Potenzschreibweise um. (1 P)

(b) Bestimmen Sie alle Nullstellen des Polynoms

f(x) = x ⁴ + x ³ + 14x ² + 16x − 32 (11) Hinweis: Eine Nullstelle ist bei x = 4i. Sie brauchen keine Polynomdivision und k¨ onnen die Aufgabe durch die bekannten Eigenschaften komplexer Nullstellen l¨ osen.

Desweiteren:

Das Produkt aller Nullstellen eines Polynoms entspricht dem konstanten Term des Polynoms. Dabei muss die Vielfachheit beachtet werden.

(2 P) L¨ osung 2.5.

(a) Das Polynom besitzt vier Nullstellen bei −5i, 5i, −2i und 2i. Sie lassen sich an den jeweiligen Linearfaktoren ablesen.

f (x) = (x ² + 25)(x ² + 4) = x ⁴ + 29x ² + 100

(b) Die Nullstelle bei 4i ist bekannt. Da das Polynom nur reellwertige Faktoren besitzt, ist somit −4i auch eine Nullstelle. Unter der Verwendung des Hinweises gilt nun:

−32

−4i · 4i = −2 (12)

Somit muss das Produkt der letzten beiden Nullstellen -2 ergeben. Es gibt drei Du- pel, die diese Bedingung erf¨ ullen: (1, −2), (−1, 2), ( √

2i, −( √

2i)). Durch Einsetzen sieht

man, dass lediglich f¨ ur das erste Dupel gilt f (1) = f (−2) = 0. Somit sind die beiden

verbleibenden Nullstellen 1 und -2.