Mathematik f¨ ur Naturwissenschaftler I WS 2020/21

Mathematik f¨ ur Naturwissenschaftler I WS 2020/21

Prof. Andreas Dreuw

Ubungsblatt 9 ¨ Ausgabe: Do 21.01.2021

Abgabe: Fr 29.01.2021 10:00

1 2 3 4 Σ

/ 21 P

Basiswissen

Integration, Differenziation, Grenzwerte

Neue Themen

Substitution, Partielle Integration

Aufgabe 9.1 (5 P). (Integration Wiederholung)

(a) Bestimmen Sie die unbestimmten Integrale f¨ ur f 1 ,f 2 ,f 3 und danach die bestimmten Integrale mit folgenden Integrationsgrenzen.

F 1 (x) = Z 2

1

f 1 (x) = Z 2

1

(π √

³

x ^a + b 1 x ⁵ − 1

cx )dx (1)

F 2 (x) = Z ln(2)

0

f 2 (x) = Z ln(2)

0

((e ^x ) ² + ae ^−bx − 1

2 ^x )dx (2)

F 3 (x) = Z π

0

f 3 (x) = Z π

0

(a sin(bx) + d cosh(cx))dx (3) (3 P) (b) Bestimmen Sie folgendes uneigentlichen Integral.

Z ∞

1

dx

5

X

i=2

π ⁱ

x ⁱ (4)

(1 P) (c) Bestimmen Sie das Integral f¨ ur t so, dass die resultierende Fl¨ ache 2FE (Fl¨ achenein-

heiten) entspricht.

Z t

0

(x ² − 2

3 tx + 2)dx (5)

(1 P) L¨ osung 9.1.

(a) Zun¨ achst die unbestimmten Integrale:

F ˜ 1 = Z

πx

^a3

+ bx ⁻⁵ − 1

c x ⁻¹ dx = 3π

a + 3 x

^a3

⁺¹ − b

4 x ⁻⁴ − 1

c ln(x) + C (6) F ˜ ₂ =

Z

e ^2x + ae ^−bx − e ^{− ln(2)x} dx = 1 2 e ^2x − a

b e ^−bx + 1

ln(2) 2 ^−x + C (7) F ˜ 3 =

Z

a sin(bx) + d cosh(cx)dx = − a

b cos(bx) + d

c sinh(cx) + C (8)

(9)

Nun mit den Grenzen:

F 1 = 3π

a + 3 x

^a3

⁺¹ − b

4 x ⁻⁴ − 1

c ln(x)

2

1

= 3π

a + 3 2 · 2

^a3

− 1 + 15

64 b − 1

c ln(2) (10) F 2 =

1 2 e ^2x − a

b e ^−bx + 1

ln(2) 2 ^−x

ln(2)

0

= 3 2 + a

b

1 − e ^{− ln(2)b}

+ 1

ln(2)

2 ^{− ln(2)} − 1 (11) F ₃ =

− a

b cos(bx) + d

c sinh(cx)

π

0

= a

b (1 − cos(bπ)) + d

c sinh(cπ) (12) (13) (b)

Z ∞

1

dx

5

X

i=2

π ⁱ x ⁱ =

Z ∞

1

π ² x ⁻² + π ³ x ⁻³ + π ⁴ x ⁻⁴ + π ⁵ x ⁻⁵ dx (14)

=

−π ² x ⁻¹ − 1

2 π ³ x ⁻² − 1

3 π ⁴ x ⁻³ − 1

4 π ⁵ x ⁻⁴

∞

1

(15)

= π ² + π ³ 2 + π ⁴

3 + π ⁵

4 (16)

(17) (c) Das Integral soll 2 Fl¨ acheneinheiten ergeben, also:

Z t

0

(x ² − 2

3 tx + 2)dx = 2 (18)

⇒ x ³

3 − tx ²

3 + 2x

t

0

= 2 (19)

⇒ t ³ 3 − t ³

3 + 2t = 2 (20)

⇒ t = 1 (21)

Aufgabe 9.2 (5 P). (Regel von l’Hospital Wiederholung)

Finden Sie die Grenzwerte folgender Ausdr¨ ucke mithilfe des Satzes von l’Hospital:

(i) lim

x→0

sin(x)

x (ii) lim

x→

^π₂

ln(tan(2x))

ln(tan(4x)) (iii) lim

x→0

tan(x) − x

x ³ (22)

(1,2,2 P) L¨ osung 9.2.

(i)

x→0 lim sin(x)

x

l

⁰

Hosp.

= lim

x→0

cos(x)

1 = 1 (23)

(ii)

x→ lim

^π₂

ln(tan(2x)) ln(tan(4x))

l

⁰

Hosp.

= lim

x→

^π₂

1

tan(2x) · _cos

2

² (2x) 1

tan(4x) · _cos

₂

⁴ _(4x) = lim

x→

^π₂

2 · sin(4x) cos(4x)

4 · sin(2x) cos(2x) (24)

l

⁰

Hosp.

= lim

x→

^π₂

2 · 4(cos ² (4x) − sin ² (4x))

4 · 2(cos ² (2x) − sin ² (2x)) = 2 · 4(1 − 0)

4 · 2(1 − 0) = 1 (25) (iii)

x→0 lim

tan(x) − x x ³

l

⁰

Hosp.

= lim

x→0 1 cos

²

(x) − 1

3x ²

l

⁰

Hosp.

= lim

x→0

−2(cos(x)) ⁻³ (− sin(x))

6x (26)

(27)

= lim

x→0

sin(x) 3x(cos(x)) ³

l

⁰

Hosp.

= lim

x→0

cos(x)

3(cos ³ (x) − x(3) cos ² (x) sin(x) = 1

3(1 − 0 ∗ 0) = 1 3 (28) Aufgabe 9.3 (4 P). (Integration durch Substitution)

Berechnen Sie folgende Integrale mithilfe der Integration durch Substitution.

(a)

Z 2x

x ⁴ − 2x ² + 1 dx (29)

(1 P) (b)

Z 1

x ² e ⁻

^x1

dx (30)

(1 P) (c)

Z 3

2

(ln(x)) ²

x dx (31)

(1 P) (d)

Z 1

0

x − 2tx x ² + t

dx (32)

(1 P) L¨ osung 9.3.

(a)

u := x ² ⇒ dx = 1

2x du (33)

Z 1

u ² − 2u + 1 du =

Z 1

(u − 1) ² du (34)

v := u − 1 ⇒ du = dv (35)

Z 1

v ² dv = − 1

v + C = − 1

u − 1 + C = − 1

x ² − 1 + C = 1

1 − x ² + C (36)

(b)

u := − 1

x ⇒ dx = x ² du (37)

Z

e ^u du = e ^u + C = e ⁻

^1x

+ C (38) (c)

u := ln(x) ⇒ dx = xdu (39)

Z ln(3)

ln(2)

u ² du = u ³ 3

ln(3)

ln(2)

= ln ³ (3)

3 − ln ³ (2)

3 (40)

Es ist sehr wichtig, dass bei bestimmten Integralen auf die Grenzen geachtet wird!

Dabei m¨ ussen die Grenzen angepasst werden, indem die urspr¨ unglichen Grenzwerte in die Substitutionsfunktion eingesetzt werden, wie in dieser Aufgabe zu erkennen ist (z.B. Grenze 3 angepasst zu ln(3) aufgrund der Substitutionsfunktion u := ln(x)).

Hier muss dann nicht mehr resubstituiert werden!

(d)

u := x ² + t ⇒ dx = 1

2x du (41)

Z 1

0

xdx − Z 1+t

t

t u du = 1

2 − t ln(x ² + t)

1

0

(42)

= 1

2 − t ln(1 + t) + t ln(t) = 1 2 + t ln

t 1 + t

(43)

Aufgabe 9.4 (7 P). (Partielle Integration)

Berechnen Sie folgenden Integrale mithilfe der partiellen Integration.

(a)

Z

2 ln(x)dx (44)

(1 P) (b)

Z

x cos(x)dx (45)

(1 P) (c)

Z π

0

sin(x) cos(x)dx (46)

(2 P) (d)

Z

e ^2x+1 (4 − x ² )dx (47)

(3 P)

L¨ osung 9.4. Allgemein sieht die partielle Integration folgendermaßen aus:

Z b

a

f ⁰ (x) · g(x)dx = f (x) · g(x)

b

a

− Z b

a

f (x) · g ⁰ (x)dx (48) Das bedeutet, dass wir beim Integrieren eines Produktes aus zwei Funktionen eine der beiden als eine ’bereits abgeleitete’ Funktion (f ⁰ (x) bzw. f ⁰ ) betrachten, und die andere als ’noch nicht abgeleitete’ Funktion (g(x) bzw. g).

(a) f ⁰ = 2, g = ln(x) Z

2 ln(x)dx = 2x ln(x) − Z

2dx = 2x ln(x) − 2x + C (49) (b) f ⁰ = cos(x), g = x

Z

x cos(x)dx = x sin(x) − Z

sin(x) = x sin(x) + cos(x) + C (50) (c) f ⁰ = cos(x), g = sin(x), geht auch umgekehrt!

Z π

0

sin(x) cos(x)dx = sin ² (x)

π

0

− Z π

0

cos(x) sin(x)dx (51) 2

Z π

0

sin(x) cos(x)dx = sin ² (x)

π

0

(52) Z π

0

sin(x) cos(x)dx = 1 2

sin ² (x)

π

0

= 0 (53)

(54) Analog mit der Alternative f ⁰ = sin(x) und g = cos(x) : (55)

Z π

0

sin(x) cos(x)dx = 1 2

− cos ² (x)

π

0

= 0 (56)

(57) (d) f ₁ ⁰ = e ^2x+1 , g ₁ = 4 − x ² , f ₂ ⁰ = e ^2x+1 , g ₂ = x

Beachte, dass bei mehrfacher partieller Ableitung die ’Reihenfolge’ beim Benennen von f ⁰ und g gleich bleiben muss!

Z

e ^2x+1 4 − x ² dx = 1

2 e ^2x+1 (4 − x ² ) + Z 1

2 e ^2x+1 2xdx (58)

(59)

Kurze Zwischenberechnung: (60)

Z

e ^2x+1 xdx = 1

2 e ^2x+1 x − Z 1

2 e ^2x+1 dx = 1

2 e ^2x+1 x − 1

4 e ^2x+1 + C (61) (62)

Und nun wieder zur¨ uck zu oben: (63)

Z

e ^2x+1 4 − x ² dx = 1

2 e ^2x+1 (4 − x ² ) + 1

2 e ^2x+1 x − 1

4 e ^2x+1 + C (64)

= 1

4 e ^2x+1 (−2x ² + 2x + 7) + C (65)