Mathematik f¨ ur Naturwissenschaftler I WS 2020/21
Prof. Andreas Dreuw
Ubungsblatt 4¨ Ausgabe: Do 26.11.2020
Abgabe: Fr 04.12.2020 10:00
1 2 3 4 5 Σ
/ 21 P
Basiswissen
Exponenten, Funktionstheorie, Eulersche Zahle, Logarithmus, Kreisfunktionen
Neue Themen
Exponentialfunktionen, Zerfallsgesetz, Gauß- Verteilung, Logarithmusfunktion, Basiswech- sel, Eulersche Formel, Satz von Moivre, kom- plexee-Funktionen
Aufgabe 4.1 (6 P). (Exponentialfunktionen)
Exponentialfunktionen kommen in der Chemie an vielen Stellen vor: zum Beispiel bei der Re- aktionskinetik (Kinetik 1. Ordnung), Zerfalls- und Wachstumsgesetzen (Radioaktiver Zerfall, Bakterielles Wachstum) oder bei der statistischen Verteilung von Eigenschaften von Teilchen (Boltzmann-Faktor, Maxwell-Boltzmann Gleichung).
(a) Vereinfachen Sie soweit wie m¨oglich:
√8
253√8
25 24+3
√3
2922
2m√ amm√
a12m3m√ a4m (4m√
a3m)((−1)3) (1)
(3 P) (b) Folgende reellwertige Funktion ist gegeben
f1(x) = 2ex2 + 3 (2)
• Bestimmen Sie den Punkt, an dem die Funktion die Ordinate schneidet.
• Bestimmen Sie die Nullstellen der Funktion (Sie brauchen hierf¨ur nicht rechnen)
• Untersuchen Sie die Funktion hinsichtlich Symmetrie, Monotonie und Extrema
• Wie verh¨alt sich die Funktion f¨urx→ −∞? Wie nennt man diese Eigenschaft?
• Wie verh¨alt sich der Graph der Funktionf1(x) zur Funktionf2(x)
f2(x) = 2e−x2 + 3 (3)
(2 P) (c) Folgende Zerfallsfunktion ist gegeben
A(t) =A0e−λt=A0e−tτ (4)
• Wof¨ur stehenA0,λ,τ
• Wie ist der mathematische Zusammenhang zwischen λundτ?
• Welcher Zusammenhang herrscht zwischenτ undA0
1
(1 P) Aufgabe 4.2 (2 P). (Gauß-Verteilung)
Da die Chemie zu großen Teilen eine empirische Wissenschaft ist, verwendet man h¨aufig Methoden aus Statistik und Stochastik, um die Verteilung von einzelnen Messungen um einen Erwartungswert zu beschreiben. Viele Verteilungen folgen dabei der sogenannten Nor- malverteilung, auch Gauß-Verteilung genannt.
G(x) = 1 σ√
2πe−(x−µ)22σ2 (5)
• Wof¨ur stehenσundµ?
• Wie sieht die Gauß-FunktionG(x) mitσ= √1
2π undµ= 4 aus?
• Skizzieren Sie die Gauss-Verteilung (Achsenbeschriftung, Skalastriche, Markante Punk- te) f¨ur folgende Werte:σ= √1
2π,µ= 4.
Tipp: Sie brauchen keine ausf¨uhrliche Wertetabelle aufstellen. Sie ben¨otigen keinen Taschenrechner. Verwenden Sie die Ann¨aherungen √1
2π ≈0.40 und √1e ≈0.60.
Markieren Sie in der Zeichnungµund die Standardabweichungen σund 2σ.
Aufgabe 4.3 (6 P). (Logarithmus)
Um mit Exponentialfunktionen umgehen zu k¨onnen, braucht es eine M¨oglichkeit folgende Gleichung zu l¨osen:
ax=b (6)
Hierf¨ur wird der Logarithmus eingef¨uhrt.
x= logab (7)
Dabei spricht man vom Logarithmusbzur Basisa. Es gibt Kurzschreibweisen f¨ur die wichtigsten Basen:log10b= logb= lgb,logeb= lnb
(a) Vereinfachen Sie soweit wie m¨oglich 2
2 log2√ 2
−log2
1
4
logb(1/m√
ab)−logb(bm) (8) (2 P) (b) Berechnen Sie die Zeit f¨ur welche die Zerfallsgleichung in Aufgabe 4.1 c) auf die H¨alfte
der urspr¨unglichen Menge abf¨allt. (1 P)
(c) Das Isotop 235U (Uran-235) hat eine Halbwertszeit von ungef¨ahr 7·109 Jahren. Be- stimmen Sie die Zerfallsgleichung mit der Exponentialfunktion f¨ur einen Anfangswert von 100kg 235U. Wieviel 235U ist nach 10 Milliarden Jahren noch ¨ubrig? Tipp: Sie k¨onnen folgende Ann¨aherungen verwenden: ln(2)≈0.7, 1e ≈0.36. (2 P) (d) Schreiben Sie das allgemeine Zerfallsgesetz aus Aufgabe 4.1 c) in Exponentialfunktio- nen zur Basis 2 und 10 um. Verwenden Sie f¨ur den Basiswechsel den Logarithmus.
(1 P)
2
Aufgabe 4.4 (3 P). (Komplexee-Funktionen)
Komplexe Zahlen lassen sich in einer Polardarstellung ausdr¨ucken
z=|z|(cosφ+ isinφ) (9)
Diese Form kann Dank der Eulerschen Formel in einee-Funktion umgeschrieben werden.
|z|eiφ=|z|(cosφ+ isinφ) =z (10)
Der Winkel, der Real- und der Imagin¨arteil korrespondieren dabei mit dem Winkel und den Ach- senabschnitten der Zahl in der komplexen Zahlenebene.
(a) Schreiben Sie folgende komplexe Zahlen in ihre Polardarstellung um.
z1=−6−6i z2=−4 (11)
(1 P) (b) Multiplikationen zweier komplexer Zahlen sind in der Eulerschen Darstellung oft ein-
facher als in der Kartesischen. Berechnen Siez1·z3 undz1·z4mit
z3= 4i z4= 3 + 3i (12)
(1 P) (c) Das Umschreiben der Polardarstellung von komplexen Zahlen erlaubt eine neue (kom-
plexe) Definition der Kreisfunktionen cosx=1
2(eix+e−ix) (13)
sinx= 1
2i(eix−e−ix) (14)
Zeigen Sie mit diesen Definitionen die G¨ultigkeit des folgenden Additionstheorems sin(a+b) = sin(a) cos(b) + cos(a) sin(b) (15)
(1 P) Aufgabe 4.5 (4 P). (Wurzeln von komplexen Zahlen)
Mit diesen Definitionen kann folgender Zusammenhang erschlossen werden zn = (|z|ei(φ+2kπ))n =|z|nei(φ+2kπ)n=|z|n(cos((φ+2kπ)n)+i sin((φ+2kπ)n)) (16)
Diese Beziehung nennt man oft “Satz von Moivre”. Da φ mit dem Winkel in der komplexen Zahlenebene korrespondiert, muss die Periodizit¨at ber¨ucksichtigt werden (volle Umdrehungen).
Das Ziehen von Wurzeln komplexer Zahlen kann zu zus¨atzlichen Komplikationen f¨uhren.
Versucht man etwa z4 = 1 durch Wurzelziehen aufzul¨osen, so folgt z = √4
1. Folgende L¨osungen existieren: 1,−1, i,−i. Der obere Zusammenhang gibt uns eine M¨oglichkeit in die Hand, mit solchen Problemen umzugehen.
3
(a) Berechnen Sie alle komplexen Zahlenz∈C, f¨ur welche die nachfolgenden Gleichungen gelten (a, b ∈ R). Geben Sie alle einzigartigen Ergebnisse an. Tipp: Sie brauchen keinen Taschenrechner f¨ur diese Aufgabe und k¨onnen die Ergebnisse in ihrer Euler Form stehen lassen.
(z5)2= 1
√
2(1 + i) (z6)4+ 1 = 0 (17)
(3 P) (b) Skizzieren Sie die komplexe Ebene f¨ur die L¨osungen vonz5 und z6. Was f¨allt Ihnen
auf? (1 P)
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