8. ¨ Ubung zur Mathematik des Operations Research

Prof. Dr. U. Faigle SS 2006 B. Fuchs

8. ¨ Ubung zur Mathematik des Operations Research

Abgabe bis sp¨atestens Freitag, 2. Juni um 8:25 in den Kasten im Vorraum der Bibliothek

Aufgabe 1

Gegeben ist das Gleichungssystem

x·y+z = 1 x·z−y = −1

a) Bestimmen Sie eine Funktion F, so dass dieses Problem ¨aquivalent ist zur L¨osung von F(x, y, z) = (0,0)^T.

b)Bestimmen Sie die Jacobi-Matrix zur Approximation von F, und f¨uhren Sie ausgehend von x=y=z eine Iteration des Newton-Verfahrens aus.

Aufgabe 2

Gegeben ist das Optimierungsproblem

max 2x1+x2 s.d. x1 −x2 ≤0 Zeigen Sie: Das zugeh¨orige KKT-System besitzt keine L¨osung.

Aufgabe 3

Geben Sie ein zu folgendem linearen Programm duales lineares Programm an.

max x1−2x2

s.d. x1+x2−x3 ≤ 4 x1−x2 = 2 2x1+x2−2x3 ≥ −2

x2 ≥ 0

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Aufgabe 4

Wir definieren die Funktion h:R⁺→R folgendermaßen:

h(t) =

0 fallst = 0, tln¹_t fallst >0.

a) Zeigen Sie:g(t) =−h(t) ist auf [0,∞) konvex.

b) Sei ∆ ={x∈Rⁿ|x_j ≥0,Pn

j=1x_j = 1}, und die sogenannte Entropiefunktion H(x) = Pn

j=1h(xj).

Zeigen Sie: x= _n¹, . . . ,¹_nT

maximiert H auf ∆.

c) Zeigen Sie außerdem:∀x∈∆ gilt:H(x) = 0⇐⇒xist Einheitsvektor.

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