Prof. Dr. U. Faigle SS 2005 B. Fuchs
4. ¨ Ubung zur Mathematik des Operations Research
Abgabe bis sp¨atestens Dienstag, 24. Mai um 10:05 in den Kasten im Vorraum der Bibliothek
Aufgabe 1 Seix0 ∈P(A,b) gegeben undA0x≤b0 das Teilsystem all derjenigen Unglei- chungen aTx≤b von Ax≤b mit der Eigenschaft
aTx0 =b .
Zeigen Sie: Die kleinste Seitenfl¨ache F von P, die x0 enth¨alt, ist gegeben durch F ={x∈P |A0x=b0}.
Aufgabe 2 Formulieren Sie ein Optimierungsproblem, dessen L¨osung Ihnen bei der Frage weiterhilft, ob die i-te Ungleichung Ai·x ≤ bi von den ¨ubrigen Ungleichungen in Ax ≤ b impliziert wird.
Aufgabe 3 SeienF1 undF2 zwei Seitenfl¨achen eines PolyedersP. Zeigen Sie, dass es eine eindeutige minimale Seitenfl¨ache von P gibt, die F1 und F2 enth¨alt.
Aufgabe 4 a)Zeigen Sie f¨ur die MatrixA ∈Rm×n: Der Kernker Aist der gr¨oßte lineare Teilraum von Rn, der im Kegel P(A,0) enthalten ist.
b) Zeigen Sie bzgl. eines beliebigen Vektors b ∈ Rn: Die Seitenfl¨ache F des Polyeders P =P(A,b) ist genau dann minimal unter den nichtleeren Seitenfl¨achen des Polyeders P, wenn es einen Punkt x0 ∈P gibt mit der Eigenschaft
F =x0+ker A .
c)Folgern Sie: Ein nichtleeres Polyeder, das keinen nichttrivialen affinen Teilraum enth¨alt, hat Ecken.
d) Geben Sie ein volldimensionales Polyeder P ⊂ R3 an, dessen minimale nichtleere Sei- tenfl¨achen Dimension 1 haben.
Aufgabe 5 Sei P ein Polytop mit 0 ∈ P, und die Polare Ppol wiederum ein Polytop.
Zeigen Sie, dass Ppol h¨ochstens so viele Ecken besitzt wieP Facetten.
Aufgabe 6 Zeigen Sie: P ={x∈Rn:0≤x≤1} ist ein Polytop mit 2n Ecken.
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