Prof. Dr. U. Faigle SS 2006 B. Fuchs
11. ¨ Ubung zur Mathematik des Operations Research
Abgabe bis sp¨atestens Freitag, 30. Juni um 8:25 in den Kasten im Vorraum der Bibliothek
Aufgabe 1
Betrachten Sie folgendes Problem: Gegeben ist eine endliche MengeM und eine FamilieF von TeilmengenF ⊆M mit |F|= 2. Wir suchen eine m¨oglichst große Teilmenge U ⊆M, so dass |U ∩F| ≤1 f¨ur alle F ∈ F gilt.
a) Formulieren Sie dieses Problem als ganzzahliges LP.
b) Geben Sie (mindestens) eine Klasse von Schnittungleichungen f¨ur das zugeh¨orige Poly- top PI an.
Aufgabe 2
Seien S = {1,2,3} und T = {1,2}, und (ut)t∈T und (vs)s∈S nichtnegative ganze Zahlen.
Das Polytop P sei durch die folgenden Ungleichungen beschrieben:
X
s∈S
xst ≤ ut ∀ t∈T X
t∈T
xst ≤ vs ∀ s∈S xst ≥ 0 ∀s ∈S, t∈T
Beschreiben Sie P durch Angabe einer geeigneten Netzwerkmatrix A und eines Vektors b in der Form
P ={x∈RS×T | Ax≤b,x≥0}.
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Aufgabe 3
Betrachten Sie folgendes Netzwerk:
s t
a) Formulieren Sie ein LP, das einen Weg von s nach t mit m¨oglichst wenigen Kanten berechnet.
b) Geben Sie das zugeh¨orige duale LP an.
Aufgabe 4
Bei den Grabungsarbeiten f¨ur die neue Nord-S¨ud Stadtbahn wurde neben anderen arch¨aolo- gischen Sensationen die Inschrift einer total unimodularen Matrix entdeckt:
−1 +1 0
+1 ? +1
0 −1 +1
Leider ist die mittlere Zahl nicht zu lesen. K¨onnen Sie den verzweifelten Experten helfen, welche Zahl an der Stelle des ’ ?’ stehen muss?
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