12. ¨ Ubung zur Mathematik des Operations Research

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Prof. Dr. U. Faigle SS 2006 B. Fuchs

12. ¨ Ubung zur Mathematik des Operations Research

Abgabe bis sp¨atestens Freitag, 7. Juli um 8:25 in den Kasten im Vorraum der Bibliothek Aufgabe 1

Gegeben ist der Graph

s

a

b

c

u

v

w

t

mit Kantenkapazit¨aten

c_ij =

(1 wenn i=s oderj =t,

∞ sonst.

Betrachtet wird das Zirkulationsproblem

maxx_ts s.d. δ_i(x) = 0 ∀ i∈ {a, b, c, u, v, w, s, t}und x_ij ≥0 ∀ i, j.

a) Zu der Zirkulationx mit Komponenten

x_ij =







1 f¨ur (i, j)∈ {(s, b),(s, c),(b, u),(c, v),(u, t),(v, t)}

2 f¨ur (i, j) = (t, s) 0 sonst

ist der Hilfsgraph G(x) und ein augmentierender Weg P zu bestimmen.

b)F¨uhren Sie eine Augmentierung vonxentlang des in a) gefundenen WegesP durch. Ist die neue Zirkulation optimal?

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Aufgabe 2

Formulieren Sie das zu dem Problem in Aufgabe 1 duale lineare Programm, und bestimmen Sie ein Knotenpotential y, welches das duales Problem optimal l¨ost.

Aufgabe 3

SeiM eine endliche Menge von Intervallen [ai, b_i] der reellen Zahlengerade. Gesucht ist eine m¨oglichst große Teilmenge von paarweise disjunkten Intervallen. Formulieren Sie dieses Problem als ein lineares Programm.

Aufgabe 4

Sei G= (V, E) ein gerichteter Graph mit E ⊆V ×V. Ein Fluss u∈R^E heißt Spannung, wenn es ein Potentialy∈R^V gibt mit der Eigenschaft

u_e=y_w−y_v ∀(v, w)∈E

Zeigen Sie: Ist u∈R^E eine Spannung und x∈R^E eine Zirkulation auf G, dann gilt:

X

e∈E

u_e·x_e = 0

(D.h.: Spannungen und Zirklationen sind orthogonal. Dies ist eines der sog. Kirchhoffschen Gesetze der Physik.)

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