Prof. Dr. U. Faigle SS 2006 B. Fuchs
9. ¨ Ubung zur Mathematik des Operations Research
Abgabe bis sp¨atestens Freitag, 16. Juni um 8:25 in den Kasten im Vorraum der Bibliothek
Aufgabe 1
Bestimmen Sie f¨ur das Optimierungsproblem max x − y + z
s.d. x + z ≤ 1
y + z ≤ 1
x + y = 1
x, z ≥ 0 eine ¨aquivalente Form vom Typ
min cTx s.d. Ax=b,x≥0.
Aufgabe 2
Eine Raffinerie stellt schweres Heiz¨ol (H), Diesel (D), Super (S) und Super Bleifrei (SB) her.
Pro Tonne Heiz¨ol setzt die Raffinerie 200 EUR um, pro Tonne Diesel 300 EUR, pro Tonne Super 500 EUR und pro Tonne Super Bleifrei 600 EUR. Zur Herstellung der Treibstoffarten stehen 3 Roh¨olsorten A, B und C zur Verf¨ugung. Ein fester Liefervertrag garantiert eine monatliche Belieferung mit 30.000 Tonnen der Sorte A, 20.000 Tonnen der Sorte B und 5.000 Tonnen der Sorte C. Zur Herstellung jeweils einer Tonne der einzelnen Treibstoffarten werden folgende Mengen (in Tonnen) an Roh¨olsorten ben¨otigt1:
A B C
H 1,0 0,2 0,1 D 0,6 0,2 0,4 S 0,3 0,4 0,4 SB 0 0,5 0,6
Formulieren Sie das Problem, dass die Raffinerie ihren monatlichen Umsatz maximiert unter den angegebenen Lieferbeschr¨ankungen als lineares Programm.
1Da es beim Verarbeiten Verluste gibt, wird mehr als eine Tonne Rohmaterial f¨ur eine Tonne Treibstoff ben¨otigt.
1
Aufgabe 3
Bestimmen Sie mit der primalen Simplexmethode eine Optimall¨osung f¨ur das Problem min x1 + x2 + x3
x1 + x4 + x5 = 3
x2 + 2x4 = 6
x3 + x4 − x5 = 2 xi ≥ 0
Aufgabe 4
Gegeben sei das Problem
minx1 + 2x2+ 2x3+ 2x4+ 2x5 +x6+x7
−x1+ 3x2+ 2x3+ 4x4−2x5−x6+x7 = −14
−x1+ 2x2+ 3x3−5x4+ 2x5−x6+x7 = −2
−x1+ 2x2+ 2x3−3x4+ 4x5 +x6+x7 = 1
−x1 −2x2+ 2x3−4x4+ 4x5+x6−x7 = 17 xi ≥ 0
a) Stellen Sie das Simplextableau zur Basis {2,3,6,7}auf.
b) Ist diese Basis primal bzw. dual zul¨assig?
Aufgabe 5
Gegeben ist das Simplextableau
−8 0 0 0 0 1 1
2 1 0 0 0 8 9
3 0 1 0 0 −3 0 5 0 0 1 0 −1 7 7 0 0 0 1 2 −1
a) Stellen Sie ein zugeh¨origes Optimierungsproblem auf.
b) Bestimmen Sie daf¨ur eine primale bzw. duale Optimall¨osung.
2
