Prof. Dr. U. Faigle SS 2005 B. Fuchs
7. ¨ Ubung zur Mathematik des Operations Research
Abgabe bis sp¨atestens Dienstag, 14. Juni um 10:05 in den Kasten im Vorraum der Bibliothek
F¨ur die Dauer dieses ¨Ubungsblattes sind Sie Chefoptimierer bei der K¨olner ¨Olversorgung (K ¨OV). Die K ¨OV kauft drei verschiedene Sorten Roh¨ol, raffiniert sie und mischt sie zu drei verschiedenen Kraftstoffen. Kraftstoff 1 kann f¨ur 70e pro Fass verkauft werden, Kraftstoff 2 f¨ur 60e und Kraftstoff 3 f¨ur 50e. Roh¨ol 1 kostet 45e pro Fass, Roh¨ol 2 35e und Roh¨ol 3 25e. Es k¨onnen pro Tag und Sorte h¨ochstens 5000 F¨asser Roh¨ol gekauft und verarbeitet werden. Es kann kein Roh¨ol oder Kraftstoff zwischengelagert werden; alles muss direkt verarbeitet und verkauft werden.
Die drei Kraftstoffe unterscheiden sich in Oktanzahl und Schwefelgehalt. Das Roh¨olgemisch f¨ur Kraftstoff 1 muss eine Oktanzahl von mindestens 10 haben und darf nicht mehr als 1%
Schwefel enthalten. Entsprechend soll das Gemisch f¨ur Kraftstoff 2 mindestens 8 Oktan und nicht mehr als 2% Schwefel haben, und das Gemisch f¨ur Kraftstoff 3 mindestens 6 Oktan und h¨ochstens 1% Schwefel. Roh¨ol 1 hat 12 Oktan und 0,5% Schwefel, Roh¨ol 2 hat 6 Oktan und 2,0% Schwefel, und Roh¨ol 3 hat 8 Oktan und 3,0% Schwefel. Es kostet 4e, ein Fass Roh¨ol zu einem Fass Kraftstoff zu raffinieren, und die Raffinerie der K ¨OV kann bis zu 14.000 F¨asser Roh¨ol t¨aglich raffinieren.
Die K ¨OV hat Vertr¨age, nach denen sie t¨aglich 3000 F¨asser Kraftstoff 1, 2000 F¨asser Kraft- stoff 2 und 1000 F¨asser Kraftstoff 3 liefern muss. Dar¨uber hinaus besteht die Option, die Kraftstoffe einzeln zu bewerben und so den Verkauf bestimmter Sorten noch weiter anzu- kurbeln. Ihre Marketing-Experten haben wissenschaftlich ermittelt, dass jeder Euro, der in die Werbung f¨ur einen bestimmten Kraftstoff investiert wird, den Verkauf dieser Sorte um genau 10 F¨asser erh¨oht.
Ihre Aufgabe ist es nun, unter den oben beschriebenen Angaben und -nahmen den t¨aglichen Gewinn der K ¨OV zu maximieren.
a) Leiten Sie aus dem oben beschriebenen Optimierungsproblem eine Formulierung als lineares Programm ab.
b) L¨osen Sie dieses LP mit dem Computer. F¨ugen Sie einen Computerausdruck Ihrer LP-Formulierung und der L¨osungsdatei bei.
c) Beschreiben Sie anhand der L¨osung Ihres LPs, wie ein optimaler Produktions- und Werbeplan f¨ur die K ¨OV aussieht, und wieviel Profit damit t¨aglich erreicht wird.
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Technische Hinweise zu Teil b): Auf dem Rechner thales.mi.uni-koeln.de, zu dem Sie Zugang haben sollten, ist das
”GNU Linear Programming Kit“ (GLKP) installiert. Von den Rechnern im PC-Pool des MI k¨onnen Sie sich sowohl unter Windows als auch unter Linux auf thales anmelden.
Als erstes m¨ussen Sie Ihr LP aus Teil a) in einer Textdatei (z.B. kov.lp) speichern, und zwar in einem Format, das GLPK beherrscht. Es wird empfohlen, das CPLEX LP-Format zu benutzen, da es recht intuitiv ist: Zuerst kommt einer der Befehlemaxodermin, gefolgt von der Zielfunktion. Dann schreibt man nach dem Befehl subject to die verschiede- nen (Un-)gleichungen hin, und nach dem Wort bounds folgen die Zul¨assigkeitsbereiche f¨ur die Variablen. Falls f¨ur eine Variable keine Begrenzung angegeben wird, wird sie als nicht-negativ angenommen. Unbegrenzte Variablen m¨ussen mit dem Befehl free als sol- che deklariert werden! Der gute Schluss wird mit endgekennzeichnet. Unten sehen Sie als Beispiel das LP von Blatt 5, Aufgabe 3 im CPLEX Format.
Wenn Sie Ihr LP erfolgreich in der Datei kov.lp abgelegt haben, lassen Sie es mit dem Befehl glpsol l¨osen. Allerdings brauchen wir noch einige Kommandozeilenparameter. Ei- ne kleine Hilfe bekommt man mit dem Aufruf glpsol --help. Ein typischer Aufruf des Programms lautet glpsol --cpxlp kov.lp -o kov.sol. Das bedeutet, dass in der Da- teikov.lp (im aktuellen Verzeichnis) unser Problem im CPLEX Format vorliegt, und die L¨osung in die Datei kov.sol geschrieben werden soll. Ausdrucken k¨onnen Sie z.B. die L¨osungsdatei kov.solmit dem Befehl lp -dGoethe kov.sol.
Eine Dokumentation des Programmpakets GLPK finden Sie auf thales unter
/cmp/local/glpk-4.8/i/doc/refman.ps; allerdings wird das allermeiste darin f¨ur Sie uninteressant sein. Dort ist das CPLEX-Format detailliert beschrieben (Anhang C); hof- fentlich wird aber das wesentliche schon durch das folgende Beispiel klarer:
min x - 2y - 3z subject to 2x + y + z = 2 -x + y - 4z >= 2 3x - 2y + z <= 5 bounds
y free z <= 0 end
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