Prof. Dr. U. Faigle SS 2006 B. Fuchs
2. ¨ Ubung zur Mathematik des Operations Research
Abgabe bis sp¨atestens Freitag, 21. April um 8:25 in den Kasten im Vorraum der Bibliothek Aufgabe 1
a) Sei S ⊆ Rn der L¨osungsraum des linearen Ungleichungssystems Ax ≤ 0. Zeigen Sie, dass f¨ur die Polare Spol von S gilt:
Spol ={c∈Rn | cTx≤0 ∀x∈S}.
b) Sei A ⊆Rn L¨osungsmenge des homogenen linearen Gleichungssystems Ax=0. Zeigen Sie: Die PolareApol ist gerade der Zeilenraum der Matrix A.
Aufgabe 2
Geben Sie ein lineares Ungleichungssystem mit rationalen Koeffizienten an, das eine reelle, aber keine rationale L¨osung besitzt.
Aufgabe 3
Benutzen Sie den Fourier-Motzkin Algorithmus, um das folgende Ungleichungssystem zu l¨osen:
2x+y−z ≤ 9 x−2y−4z ≤ 4
−x+z ≤ 1 y−3z ≤ 7
−3x+ 2y+z ≤ 3
Aufgabe 4
a) Sei S ⊆R3 folgende Punktmenge:
S =
1 0 3
,
0
−2 0
,
1
−2 4
,
2
−2 6
,
1 4 5
.
Berechnen Sie die Dimension der konvexen H¨ulle conv(S) von S.
b) Geben Sie eine konvexe abgeschlossene MengeS an, die (mindestens) eine Seitenfl¨ache F der Dimension dimF = dimS−1 besitzt, aber keine Ecken hat.
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