7. ¨Ubung zur Mathematik des Operations Research Abgabe bis sp¨atestens Freitag, 26. Mai um 8:25 in den Kasten im Vorraum der Bibliothek

Prof. Dr. U. Faigle SS 2006 B. Fuchs

7. ¨ Ubung zur Mathematik des Operations Research

Abgabe bis sp¨atestens Freitag, 26. Mai um 8:25 in den Kasten im Vorraum der Bibliothek Aufgabe 1

Gegeben ist die quadratische Funktion f :R³ →R mit f(x) =x²₁−2x₁x₃+1

2x²₂−x₂x₃+ 2x²₃−x₁−2x₂−3x₃

a) Schreiben Sie f(x) in der Formf(x) = ¹₂x^TQx−c^Tx, wobei Q symmetrisch sein soll.

b) Bestimmen Sie min_x∈R³f(x).

c) L¨osen Sie das Problem minf(x) unter der Bedingung, dass x₁ −x₂+ 2x₃ =−1 gelten soll.

Aufgabe 2

Sei f : R → R eine unkannte Funktion, von der die Werte f(−1) = 2, f(0) = 3 und f(1) = 3,5 bekannt sind. Sie interessieren sich daf¨ur, ob f(2) gr¨oßer, kleiner oder gleich f(1) ist.

a) Was ergibt lineare Regression?

b) Was ergibt quadratische Regression?

Aufgabe 3

Gegeben sind ein nichtleeres Polytop P =P(A,b) ⊆Rⁿ und ein Punkt p ∈Rⁿ. Gesucht ist ein Punkt ˆp∈P mit kp−pkˆ = minx∈P kp−xk.

Stellen Sie die zugeh¨origen KKT-Bedingungen auf.

Aufgabe 4

Gegeben ist das Problem

x∈minRⁿ

c^Tx−µ

m

X

j=1

logx_j so dass Ax=b und x_i >0 ∀ 1≤i≤n. (µ >0)

Formulieren Sie Optimalit¨atsbedingungen f¨ur dieses Problem.

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