3. ¨ Ubung zur Mathematik des Operations Research

Prof. Dr. U. Faigle SS 2005 B. Fuchs

3. ¨ Ubung zur Mathematik des Operations Research

Abgabe bis sp¨atestens Dienstag, 10. Mai um 10:05 in den Kasten im Vorraum der Bibliothek

Aufgabe 1 SeiP ⊆R² das Polyeder, das durch die folgenden Ungleichungen beschrieben wird:

x−3y ≤ −1 x+ 2y ≥ 6 3y−5x ≤ 22

x ≥ 1 y ≥ 1

Bestimmen Sie Mengen V, W ⊆R² mit der EigenschaftP =conv V +cone W. Skizzieren Sie P, conv V und cone W in jeweils verschiedenen Bildern.

Aufgabe 2 Sei W = {(1,2)^T,(2,1)^T,(−1,0)^T} ⊂ R². Skizzieren Sie C = cone W und den dazu dualen KegelC⁰, und geben Sie eine implizite Darstellung C=P(A,0) an.

Aufgabe 3 Sei ∅ 6= P = P(A,b) = conv V +cone W. Zeigen Sie, dass die folgenden Aussagen ¨aquivalent sind:

1. w∈cone W. 2. w∈P(A,0).

3. F¨ur jedes x₀ ∈P gilt: x₀+λw∈P f¨ur alle λ≥0.

4. Es gibt x₀ ∈P mit: x₀+λw∈P f¨ur alle λ≥0.

Aufgabe 4 SeiC_d={x∈R^d :|x_i| ≤1 ∀i= 1, . . . , d}derd-dimensionale Einheitsw¨urfel.

a) Bestimmen Sie die PolareC_d^pol f¨ur d= 1,2,3.

b) Sei 06=v= (v1, v2, v3)^T ∈R³, undL={λv:λ∈R} die Ursprungsgerade in Richtung v. Geben Sie ein lineares System an, das die Polare L^pol beschreibt.

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