Prof. Dr. U. Faigle SS 2006 B. Fuchs
5. ¨ Ubung zur Mathematik des Operations Research
Abgabe bis sp¨atestens Freitag, 12. Mai um 8:25 in den Kasten im Vorraum der Bibliothek Aufgabe 1
Sei P ⊆R2 das Polyeder, das durch die folgenden Ungleichungen beschrieben wird:
x−y ≥ −6 2x−y ≥ −9 3x+ 2y ≥ −10
y ≥ −2 x−2y ≤ 4
Bestimmen Sie Mengen V, W ⊆R2 mit der Eigenschaft P =conv V +cone W. Skizzieren Sie P, conv V und cone W in jeweils verschiedenen Bildern.
Aufgabe 2
a) SeienV, W folgende Punktmengen im R3:
V =
1 0 0
,
−1 0 0
,
0 1 0
, W =
1 0 1
,
−1 0 1
,
0 2 1
,
0
−1 2
Sei P =conv V +cone W. Bestimmen Sie A,b mit P =P(A,b).
b) Ist die lineare Zielfunktion c(x) = x1+x2−x3 auf P von oben beschr¨ankt?
Aufgabe 3
Seien B ∈ Rm×n und d ∈Rm. Zeigen Sie, dass eine affine Abbildung f(x) = Bx+d ein Polyeder P ⊆Rn wieder auf ein PolyederP0 =f(P)⊆Rm abbildet.
Aufgabe 4
DieMinkowski-SummeP+QvonP, Q⊆Rnist definiert alsP+Q={p+q|p ∈P,q∈Q}. Zeigen Sie: Die Minkowski-Summe P +Q der Polyeder P = (A,b), Q = (B,d) ⊆ Rn ist ein Polyeder.
(Historische Anmerkung: Diese Aufgabe war in der Vergangenheit eine beliebte Pr¨ufungs- frage.)
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