Prof. Dr. U. Faigle SS 2005 B. Fuchs
1. ¨ Ubung zur Mathematik des Operations Research
Abgabe bis sp¨atestens Dienstag, 26. April um 10:05 in den Kasten im Vorraum der Bibliothek
Aufgabe 1
Geben Sie einen Vektory als Zeugen daf¨ur an, dass das Ungleichungssystem x1+ 2x2+ 3x3 ≤ 1
2x1+x3 ≥ 2 4x2+ 5x3 ≥ 1 unl¨osbar ist.
Aufgabe 2
Benutzen Sie den Fourier-Motzkin Algorithmus, um zu pr¨ufen, ob die folgende 2-SAT Formel erf¨ullbar ist:
(x1∨x2)∧(¯x1∨x3)∧(¯x1∨x¯2)∧(¯x3∨x4)∧(x1∨x¯4)
Aufgabe 3
Geben Sie ein Ungleichungssystem an, bei dem ein Schritt in der Fourier-Motzkin Elimi- nation die Anzahl der Ungleichungen mindestens verf¨unffacht.
Aufgabe 4
Sei S ∈ Rn×n eine symmetrische reelle Matrix. Zeigen Sie, dass es Zahlen r1, . . . , rn ∈ R und Vektoren v1, . . . ,vn ∈Rn gibt, so dass
S =
k
X
i=1
riviv>i
gilt. (Sie d¨urfen die Tatsache benutzen, dass symmetrische Matrizen diagonalisierbar sind.)
1
