6. ¨ Ubung zur Mathematik des Operations Research

Prof. Dr. U. Faigle SS 2005 B. Fuchs

6. ¨ Ubung zur Mathematik des Operations Research

Abgabe bis sp¨atestens Dienstag, 7. Juni um 10:05 in den Kasten im Vorraum der Bibliothek Aufgabe 1 Gegeben sei das folgende lineare Programm:

min 2x₁+x₂−x₃+ 1

2x₄ s.d. x₁+ 3x₂+ 2x₃+ 4x₄ = 5 3x₁+x₂+ 2x₃+x₄ = 4 5x₁+ 3x₂+ 3x₃+ 3x₄ = 9 x₁, x₂, x₃, x₄ ≥ 0 a) Zeigen Sie:B ={1,3,4} ist eine Basisindexmenge f¨ur das LP.

b) Stellen Sie das zuB geh¨orige Simplextableau auf.

c) Ist das Tableau aus b) optimal? primal zul¨assig? dual zul¨assig?

d) Bestimmen Sie ein Pivotelement ark 6= 0 und f¨uhren Sie eine Pivotoperation auf dem Tableau durch.

Aufgabe 2 Sei A ∈ R^m×n von Rang m, c ∈ Rⁿ, b ∈ R^m und B ⊆ {1, . . . , n} eine Basisindexmenge f¨ur das LP

min z =c^Tx s.d. Ax=b,x≥0.

Sei außerdem ¯z = c^T_BA⁻¹_B b und ¯c^T_N = c^T_NA⁻¹_B A_N. Leiten Sie die folgende allgemeine Dar- stellung der Zielfunktion ab:

z =c^Tx= ¯z+ ¯c^T_Nx_N = ¯z+X

j∈N

¯ c_jx_j.

Aufgabe 3 Mit der Notation wie zuvor sei zus¨atzlich ¯ark 6= 0 ein Pivotelement bzgl. des zu B geh¨origen Simplextableaus, B⁰ = (B \ {r})∪ {k}die nachfolgende Basisindexmenge und z⁰ der Zielfunktionswert der zu B⁰ geh¨origen Basisl¨osung. Zeigen Sie:

a)Falls ¯a_rk>0 und ¯c_k<0 gilt und das zuB geh¨orige Simplextableau primal zul¨assig ist, dann gilt z⁰ ≤z.¯

b) Falls ¯ark < 0 und ¯br < 0 gilt und das zu B geh¨orige Simplextableau dual zul¨assig ist, dann gilt z⁰ ≥z.¯

Aufgabe 4 Zeigen Sie, dass das zum Produktionsproblem max {c^Tx | Ax≤ b, x≥0}

duale lineare Programm min {b^Ty| A^Ty≥c, y≥0} ist.

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