Prof. Dr. U. Faigle SS 2006 B. Fuchs
3. ¨ Ubung zur Mathematik des Operations Research
Abgabe bis sp¨atestens Freitag, 28. April um 8:25 in den Kasten im Vorraum der Bibliothek Aufgabe 1
Seien A ∈Rm×n, b ∈Rm, B ∈ Rk×n und d∈ Rk. Zeigen Sie, dass genau eine der beiden folgenden Aussagen wahr ist:
1. Ax=b,Bx≤d ist l¨osbar.
2. Es gibt Vektoren u ∈Rm und v∈Rk, so dass v≥0, uTA+vTB =0T, und uTb+vTd<0.
Aufgabe 2
Geben Sie einen Vektory≥0 als Zeugen daf¨ur an, dass das Ungleichungssystem x1+ 2x2+ 3x3 ≤ 2
x1+ 2x3 ≥ 1
−x1+2x2 −x3 ≥ 1 unl¨osbar ist.
Aufgabe 3
Beweisen Sie die folgende Aussage (Satz von Gordan):
F¨ur alle A∈Rm×n gilt genau eine der beiden folgenden Aussagen:
i) Ax=0,x≥0 hat eine L¨osung xˆ6=0.
ii) yTA <0T hat eine L¨osung.
Aufgabe 4
Sei P ⊆R3 die L¨osungsmenge des folgenden Ungleichungssystems:
2x1+x2+x3 ≤ 1 x1+ 2x2+x3 ≤ 2 x ≥ 0 Geben Sie alle Seitenfl¨achen von P an.
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