Humboldt-Universit¨at zu Berlin, Institut f¨ur Mathematik Lineare Algebra / Vektorrechnung und Matrizen
Dr. Caroline L¨obhard
Sommersemester 2016, Musterklausur, Seite 1 von 2 Bearbeitungszeit: 60 Minuten, Gesamtpunktzahl: 28 Zu erreichende Punkte: 32
Aufgabe 1. (8 Punkte) Geben Sie an, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind. F¨ur jede richtige Antwort bekommen Sie zwei Punkte, f¨ur jede falsche Antwort wird Ihnen ein Punkt abgezo- gen. Eine nichtbeantwortete Frage wird mit Null Punkten bewertet. Insgesamt wird die Aufgabe mit mindestens 0, und maximal 8 Punkten bewertet.
wahr falsch
Jedes lineare Gleichungssystem, das zwei L¨osungen hat, hat unendlich viele L¨osungen.
Es seienv, w∈RnVektoren im Rn.
Wennv⊥w, dann folgtkv+wk2 =kvk2+kwk2.
F¨ur jede Zahl a∈ Rist die Menge {x= (x1, x2, x3) ∈R3|x1 =a} ein Untervek- torraum desR3.
Es seiU ⊂V ein Untervektorraum vonV. Ausu∈U undv 6∈V folgt, dass u+v6∈U.
Aufgabe 2. (4+2+1 Punkte) Es sei
U =L
1 0
−1 0
,
−1 2 1 2
,
1
−1 1 1
.
a) Bestimmen Sie eine Orthonormalbasis vonU.
b) Berechnen Sie die orthogonale Projektion des Vektors
4 0 0 0
auf U.
c) Geben Sie eine Basis desR4 an, so dass die Darstellungsmatrix A der orthogonalen Projektion PU :R4 →R4 auf U die folgende Gestalt hat,
A=
1 0 0 2 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0
.
Informationen zur Vorlesung finden Sie unter www.math.hu-berlin.de/˜loebhard/mathematik 2
Humboldt-Universit¨at zu Berlin, Institut f¨ur Mathematik Lineare Algebra / Vektorrechnung und Matrizen
Dr. Caroline L¨obhard
Sommersemester 2016, Musterklausur, Seite 2 von 2 Bearbeitungszeit: 60 Minuten, Gesamtpunktzahl: 28 Zu erreichende Punkte: 32
Aufgabe 3. (2+4+2+2+2 Punkte) Es sei
U =L(sin(t),cos(t), e−t) ={λ1sin(t) +λ2cos(t) +λ3e−t|λ1, λ2, λ3 ∈R} ⊂C(R), undF :U →U, F(f(t)) =f00(t) + 2f0(t)−f(t) sei eine (lineare) Abbildung.
a) Zeigen Sie, dassB = (sin(t),cos(t), e−t) eine Basis vonU ist.
b) Berechnen Sie F(sin(t)), F(cos(t)) und F(e−t) und geben Sie die Darstellungsmatrix A von D bez¨uglich der BasisB an.
c) Bestimmen Sie den Kern und die Dimension des Bildes von D indem Sie zun¨achst Kern und Rang der MatrixA aus b) bestimmen.
d) Bestimmen Sie die Eigenwerte vonA.
e) Geben Sie eine Basis aus Eigenvektoren vonD(inU) und die zugeh¨orige Darstellungsmatrix an.
Aufgabe 4. (2+2+1 Punkte) Es seiA=
1 1 −1
2 1 2
0 1 3
und U =L
1 1 0
.
a) Zeigen Sie, dassA nicht positiv definit ist.
b) Ist A positiv definit aufU?
c) Unter welchen Bedingungen an die Koeffizienten cij ist eine allgemeine Matrix C ∈ R3 positiv definit ¨uberU?
Informationen zur Vorlesung finden Sie unter www.math.hu-berlin.de/˜loebhard/mathematik 2
