Humboldt-Universit¨at zu Berlin, Institut f¨ur Mathematik Mathematik f¨ur NaturwissenschaftlerInnen 2
Dr. Caroline L¨obhard
Sommersemester 2016, Musterklausur, Seite 1 von 2 Bearbeitungszeit: 90 Minuten, Gesamtpunktzahl: 40 Zu erreichende Punkte: 50
Aufgabe 1. (14 Punkte) Geben Sie an, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind. F¨ur jede richtige Antwort bekommen Sie zwei Punkte, f¨ur jede falsche Antwort wird Ihnen ein Punkt abgezo- gen. Eine nichtbeantwortete Frage wird mit Null Punkten bewertet. Insgesamt wird die Aufgabe mit mindestens 0, und maximal 14 Punkten bewertet.
wahr falsch
F¨ur beliebige invertierbare Matrizen A,B gilt immer (AB)−1=A−1B−1. F¨ur Vektoren v, wgilt stets hv, wi ≤ kvkkwk.
GiltAB=BAf¨ur zwei beliebige MatrizenA, B∈R2×2, so folgt immer A=B.
Jedes lineare Gleichungssystem, das zwei L¨osungen hat, hat unendlich viele L¨osungen.
Es seienv, w∈RnVektoren im Rn.
Wennv⊥w, dann folgtkv+wk2 =kvk2+kwk2.
F¨ur jede Zahl a∈ Rist die Menge {x= (x1, x2, x3) ∈R3|x1 =a} ein Untervek- torraum desR3.
Es seiU ⊂V ein Untervektorraum vonV. Ausu∈U undv 6∈V folgt, dass u+v6∈U.
Aufgabe 2. (4+2+1 Punkte) Es sei
U =L
1 0
−1 0
,
−1 2 1 2
,
1
−1 1 1
.
a) Bestimmen Sie eine Orthonormalbasis vonU.
b) Berechnen Sie die orthogonale Projektion des Vektors
4 0 0 0
auf U.
c) Geben Sie eine Basis desR4 an, so dass die Darstellungsmatrix A der orthogonalen Projektion PU :R4 →R4 auf U die folgende Gestalt hat,
A=
1 0 0 2 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0
.
Informationen zur Vorlesung finden Sie unter www.math.hu-berlin.de/˜loebhard/mathematik 2
Humboldt-Universit¨at zu Berlin, Institut f¨ur Mathematik Mathematik f¨ur NaturwissenschaftlerInnen 2
Dr. Caroline L¨obhard
Sommersemester 2016, Musterklausur, Seite 2 von 2 Bearbeitungszeit: 90 Minuten, Gesamtpunktzahl: 40 Zu erreichende Punkte: 50
Aufgabe 3. (2+4+2+2+2 Punkte) Es sei
U =L(sin(t),cos(t), e−t) ={λ1sin(t) +λ2cos(t) +λ3e−t|λ1, λ2, λ3 ∈R} ⊂C(R), undF :U →U, F(f(t)) =f00(t) + 2f0(t)−f(t) sei eine (lineare) Abbildung.
a) Zeigen Sie, dassB = (sin(t),cos(t), e−t) eine Basis vonU ist.
b) Berechnen Sie F(sin(t)), F(cos(t)) und F(e−t) und geben Sie die Darstellungsmatrix A von F bez¨uglich der BasisB an.
c) Bestimmen Sie den Kern und die Dimension des Bildes von F indem Sie zun¨achst Kern und Rang der MatrixA aus b) bestimmen.
d) Bestimmen Sie die Eigenwerte vonA.
e) Geben Sie eine Basis aus Eigenvektoren vonF (inU) und die zugeh¨orige Darstellungsmatrix an.
Aufgabe 4. (1+4+2 Punkte) Wir suchen die lokalen Extremalstellen der Funktion f(x, y, z) = x− y+ 2zmit der Nebenbedingung g(x, y, z) =x2+y2+ 2z2−2 = 0.
a) Unter welcher Bedingung an (x, y, z)∈R3 ist Rang(∇g(x, y, z)) = 1?
b) Geben Sie die Lagrangefunktion zum obigen Extremwertproblem an und bestimmen Sie alle kritischen Punkte.
c) Entscheiden Sie jeweils, ob in den kritischen Punkten ein Minimum oder ein Maximum vorliegt.
Aufgabe 5. (4+2+2+2 Punkte) Wir betrachten die inhomogene lineare Differentialgleichung y00(t) +y0(t)−2y(t) = 10et.
a) Bestimmen Sie mit der Ansatzmethode eine partikul¨are L¨osung der Differentialgleichung.
b) Geben Sie die allgemeine L¨osung der Differentialgleichung und die L¨osung des zugeh¨origen An- fangswertproblems mity(1) = 113 e,y0(1) = 7ean.
c) Schreiben Sie die obige Differentialgleichung zweiter Ordnung als System von zwei Differential- gleichungen erster Ordnung inz(t) =
z1(t) z2(t)
. Geben Sie die KoeffizientenmatrixA∈R2×2 und die Funktion h(t) an, so dass die obige Differentialgleichung ¨aquivalent zu z0(t) =Az(t) +h(t) ist.
d) Erkl¨aren Sie den Zusammenhang zwischen dem L¨osungsansatz f¨ur die allgemeine L¨osung des homogenen Systemsz0(t) =Az(t) und dem der homogenen Gleichungy00(t) +y0(t)−2y(t) = 0.
Informationen zur Vorlesung finden Sie unter www.math.hu-berlin.de/˜loebhard/mathematik 2
