Nahklausur TheGI 3
9.April2002
Name,Vorname: Matr.-Nr.:
UbungimWS
Aufgabe: 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Punkte:
Klausurpunkte: Klausurnote:
Aufgabe1 (3Punkte)
Es seien P eineMenge von Aussagensymbolen und '; ;'
1
;:::;'
n
2 Form(P). Geben Sie oh-
ne Begrundung an, welhe der folgenden Aussagen wahr bzw. falsh sind. Fur jede rihtige
Antwort gibtes einen halben Punkt,fur jede falshe Antwort wird ein halber Punkt abgezogen
undnihtbearbeiteteTeilaufgabenwerdenmitnullPunktenbewertet.Insgesamtgibtesfurdiese
AufgabeabermindestensnullPunkte.
1. Wenn 'eineTautologieist,sogilt;`
R
'furallevollstandigenSequenzenkalkule(R ;`
R ).
2. Wenn f'
1
;:::;'
n
g6',soist('
1
^:::^'
n
)!'nihtallgemeingultig.
3. Ist'eineFormelinDNF, soist'keinesfallsin KNF.
4. Wenn ' ,sogiltstets:': .
5. EsgibteinenkorrektenHilbertkalkul,dernur eineRegelhat.
6. Ist S eine Klauselreprasentation zu ', aus der die leere Klausel beweisbar ist, so ist :'
allgemeingultig.
Aufgabe2 (2+4Punkte)
SeienP eineMengevonAussagensymbolenundp;q2P.
(a) ErganzenSiedie folgendeWahrheitstafel! DieFormeldieserTafel'istmit HilfederJunk-
toren ausf>;?;:;^;_;!;$ggebildet,undesistSymb(')=fp;qg.
InjedeLukegehortnureinZeihen!
p q (p ::: ::: :::) ::: : (p ::: q)
T T F F
T F T F T T
F T F F T T T
F F T T T
(b) Sei'dieFormel,derenWahrheitstafelin(a)zuvervollstandigenwar.GebenSiesowohleine
disjunktiveNormalformfur'alsauheinekonjunktiveNormalforman.
SeienP eineMengevonAussagensymbolenundp;q2P.
(a)
UberprufenSiemitHilfedesDeduktionstheorems:
f:(p!?)^q;(p^q)!:pg:p:
(b) Seien P eine Menge von Aussagensymbolenund p;q;r 2 P.
UberprufenSie mit Hilfe des
Resolutionsverfahrens:
fp!q; q_r;(p^q)!rgr!:(q!p):
Aufgabe4 (3+3Punkte)
SeienP eineMengevonAussagensymbolenund'; ;2Form(P).BeweisenoderwiderlegenSie
diefolgendenBehauptungen(beiWiderlegungreihtdieAngabeeinesGegenbeispiels):
(a) Falls'?,soauh :'.
(b) f'! ;;! g'.
Aufgabe5 (2Punkte)
Es seien = (S;OP;R ) eine logisheSignatur, X eine zu passende Familien von Variablen-
mengen, x2X, '; 2 Form
(X)sowie; Form
(X). GebenSie ohne Begrundung an,
welheder folgenden Aussagen wahr bzw. falsh sind. Fur jede rihtige Antwort gibt eseinen
halbenPunkt, fur jede falshe Antwort wird ein halberPunkt abgezogenund nihtbearbeitete
TeilaufgabenwerdenmitnullPunktenbewertet.InsgesamtgibtesfurdieseAufgabeaberminde-
stensnullPunkte.
1. Wenn ' ,danngiltMod
(')nMod
( )=;.
2. Esgibtein2Form
(X)mitFree()=Bound().
3. Aus folgtMod
()Mod
( ).
4. EsgiltAj='genau dann,wennAj=8x:'.
Aufgabe6 (4+2+4Punkte)
GegebenseidiefolgendeSignaturBloksWorld:
sorts : blok;olor
opns : d
i
: !blok furi=1;:::;5
getColor: blok!olor
rels : OnFloor: hbloki
Upon: hblok;bloki
Above: hblok;bloki
sowie die zu BloksWorld passenden Variablenmengen X = (X
s )
s2fblok ;olorg mit X
blok
=
fa;b;;a
1
;:::gundX
olor
=fu;v;w;u
1
;:::g.
(a) GebenSieeineBloksWorld-StrukturAan,inderdiefolgendenFormelngultigsind:
'
1
= Above(a;)$(Upon(a;)_9b:(Upon(a;b)^Above(b;)));
'
2
= 9a:9b:(Upon(a;b));
'
3
= 8a:((9b:Upon(a;b))_OnFloor(a));
'
4
= Upon(a;b)!(getColor(a)6=getColor(b)):
(b) BeweisenSiedieGultigkeitvon' inIhrer Struktur.
1 blok
(v)= getColor(b), (w)= getColor() und (u
i
)= getColor(a
i
) fur allei 1. Geben
Sie eine Formel ' an mit a;u 2 Free(') und a;v 2 Bound('), so dass [℄ niht zulassig
fur ' ist (und begrunden Sie die Niht-Zulassigkeit). Bestimmen Sie dann eine zulassige
Umbenennunghri,sodass[℄zulassigfur'hri ist,undgebenSie'hri[℄an.
Aufgabe7 (2+2Punkte)
Gegebenseidie Signatur=(S;OP;R ), wobeiS =fsg,OP =f;fgmit :!s undf :s!s
sowieR=fPgmitP :hsi.Auerdemseienx;y2X
s .
UberprufenSie diefolgendenFormelnauf
Allgemeingultigkeit(BeweisoderAngabeeinesGegenbeispiels):
(a) '=(9x:(P(x)^f(x)=))!((9x:P(x))^(9x:f(x)=)).
(b) =((9x:P(x))^(9x:f(x)=))!(9x:(P(x)^f(x)=)).
Aufgabe8 (1,5+1,5+1 Punkte)
Seien=(S;OP;R )unds2S sowieX
s
=fx;y;z;x
1
;x
2
;:::g.
(a) FormulierenSie eineFormel',sodassdieModelleAvon'genau dieStrukturensind,fur
diedie TragermengeA
s
mindestens zweielementigist,alsojA
s j2.
(b) FormulierenSie eineFormel ,sodassdieModelleAvon genau dieStrukturensind,fur
diedie TragermengeA
s
hohstenszweielementigist,alsojA
s j2.
() FormulierenSie eineFormel,sodassdieModelleAvon genaudie Strukturensind,fur
diedie TragermengeA
s
genau zweielementigist,alsojA
s j=2.
Aufgabe9 (2Punkte)
Sei=(S;OP;R ) gegebenmit S =fsg undP 2Rmit P :hsisowieX
s
=fx;y;z;x
1
;x
2
;:::g.
Geben Sie '; 2 Form
(X) an, fur welhe Mod
(') = Mod
( ) gilt, obwohl ' $ niht
allgemeingultigist!BegrundenSie,warum'und dasGewunshte leisten.
