Klausur TheGI 3
19. Februar2002
Name,Vorname: Matr.-Nr.:
UbungimWS
Aufgabe: 1 2 3 4 5 6 7 8
Punkte:
Klausurnote:
Aufgabe1 (3Punkte)
EsseienP eineMengevonAussagensymbolenund'; ;'
1
;:::;'
n
2Form(P).Geben Sieohne
Begrundungan,welhederfolgendenAussagenwahrbzw.falshsind.FurjederihtigeAntwort
gibteseinenhalbenPunkt,fur jedefalsheAntwort wirdeinhalberPunktabgezogenundniht
bearbeiteteTeilaufgabenwerdenmitnullPunkten bewertet.InsgesamtgibtesfurdieseAufgabe
abermindestensnullPunkte.
1. IstS eineKlauselreprasentationvon'^ undistausS dieleereKlauselbeweisbar,sogilt
' .
2. Wenn f'
1
;:::;'
n
g6',soist('
1
^:::^'
n
)!'kontradiktorish.
3. Ist'! eineTautologie,sogilt'`
R
in jedemHilbertkalkul (R ;`
R ).
4. SindA undBJunktorbasen, soistauhA\B eineJunktorbasis.
5. Ist 'allgemeingultig,sogibteseinezu'aquivalente Formelin konjunktiverNormalform,
dienurauseinemZeihenbesteht.
6. Wenn fureinenSequenzenkalkul(S;`
S
)aus' stets'`
S
folgt,soistS vollstandig.
Aufgabe2 (2+4Punkte)
SeienP eineMengevonAussagensymbolenundp;q2P.
(a) ErganzenSiedie folgendeWahrheitstafel! DieFormeldieserTafel'istmit HilfederJunk-
toren ausf>;?;:;^;_;!;$ggebildet,undesistSymb(')=fp;qg.
InjedeLukegehortnureinZeihen!(EssindmehrereLosungenmoglih).
p q (p ! ::: :::) ::: : (::: ! q)
T T F T F T T
T F T F F F T F
F T T F F F T T
F F T F F T F
(b) Sei ' die Formel, deren Wahrheitstafel in (a) zu vervollstandigenwar.Geben Sie sowohl
einedisjunktiveNormalformfur'alsauheinekonjunktiveNormalforman.
SeienP eineMengevonAussagensymbolenundp;q2P.
(a)
UberprufenSiemitHilfedesDeduktionstheorems:
(p!:q)!((q!p)!?)p:
(b) Seien P eine Menge von Aussagensymbolenund p;q;r 2 P.
UberprufenSie mit Hilfe des
Resolutionsverfahrens:
fr!(p^:q);q_r;:p_qg:r^q:
Aufgabe4 (3+3Punkte)
SeienP eineMengevonAussagensymbolenund'; ;2Form(P).BeweisenoderwiderlegenSie
diefolgendenBehauptungen(beiWiderlegungreihtdieAngabeeinesGegenbeispiels):
(a) Wenn ' _, dann' oder'.
(b) Wenn _',dann 'und'.
Aufgabe5 (2Punkte)
Esseien=(S;OP;R )einelogisheSignatur,X einezupassendeFamilienvonVariablenmen-
gen,x2X,'; 2Form
(X)sowie; Form
(X).GebenSieohneBegrundungan,welhe
der folgenden Aussagen wahrbzw. falshsind. Fur jede rihtige Antwort gibtes einen halben
Punkt,furjedefalsheAntwortwirdeinhalberPunktabgezogenundnihtbearbeiteteTeilaufga-
benwerdenmitnullPunkten bewertet.InsgesamtgibtesfurdieseAufgabeabermindestensnull
Punkte.
1. Wenn 'einSatz istundfuralleA2Strukt
ein :X!Amit(A;)j='existiert,dann
ist'allgemeingultig.
2. Wenn ' ,danngiltMod
(f ;'g)=Mod
( ).
3. EsgiltstetsStrukt
nMod
(')=Mod
(:').
4. Aus folgtMod
( )Mod
().
Aufgabe6 (4+2+4Punkte)
GegebenseidiefolgendeSignatur
Gr :
Gr
: sorts : knoten;kanten
opns : quelle:kanten!knoten
ziel:kanten!knoten
rels : Pfad:hknoten knoteni
AusserdemseidieFamilieX =(X
k noten
;X
k anten )mitX
k noten
=fx;y;z;x
1
;x
2
;:::gundX
k anten
=
fk;l;m;k
1
;k
2
;:::ggegeben.
(a) GebenSieeine
Gr
-StrukturAan,in derfolgendeFormelngultigsind:
'
1
= 8x:8y:((9k:(quelle(k)=x^ziel(k)=y))!Pfad(x;y));
'
2
= 8x:8z:((9y:(Pfad(x;y)^Pfad(y;z)))!Pfad(x;z));
'
3
= 8x:9k:(quelle(k)=x_ziel(k)=x);
'
4
= 8x:8y:(Pfad(x;y)_Pfad(y;x));
'
5
= 8x:9y::(x=y):
(b) BeweisenSiedieGultigkeitvon' inIhrer Struktur.
1 i
x
i+1
fur i 1, (k) = l, (l) = k, (m) = k
1
und (k
i ) = k
i+1
fur i 1. Geben Sie
eine Formel' an mit x;y;m 2 Free(') und x;z;l 2 Bound('), so dass [℄ nihtzulassig
fur ' ist (und begrunden Sie die Niht-Zulassigkeit). Bestimmen Sie dann eine zulassige
Umbenennunghri,sodass[℄zulassigfur'hri ist,undgebenSie'hri[℄an.
Aufgabe7 (2+2Punkte)
GegebenseidieSignatur=(S;OP;R ), wobeiS=fsg,OP =ffgmit f :s!sundR=fPg
mitP:hsi.Auerdemseienx;y2X
s .
UberprufenSiediefolgendenFormelnaufAllgemeingultig-
keit(jeweilsmit Nahweis):
(a) '=(:P(x)_(9y:f(x)=y))_(P(x)^:(9y:f(x)=y)).
(b) =(:P(x)_(9y:f(x)=y))^(P(x)^:(9y:f(x)=y)).
Aufgabe8 (1,5+1,5+2+1 Punkte)
Gegeben seien =(S;OP;R ) mit S = fs
1
;s
2
g,OP =ffgmit f : s
1
! s
2
und R =; sowie
X
s1
=fx;y;z;x
1
;x
2
;:::gundX
s2
=fu;v;w;u
1
;u
2
;:::g.
(a) FormulierenSie eineFormel',sodassdieModelleAvon'genau dieStrukturensind,fur
die f
A
injektiv ist, d. h. je zweivershiedeneElemente ausA
s1
haben vershiedene Bilder
unterf
A .
(b) FormulierenSie eineFormel ,sodassdieModelleAvon genau dieStrukturensind,fur
dief
A
surjektivist,d. h.jedesElementausA
s2
hatmindestenseinUrbildin A
s1
unterf
A .
() Zeigen Sie,dassweder' noh ',indemSieein A2Mod
(')nMod
( )undein
B 2Mod
( )nMod
(')angeben.
(d) Zeigen Sie, dass Mod
(')\Mod
( )6= ;, indemSie eine -StrukturC mit C j= ' und
Cj= angeben(ineinemsolhenC istf alsobijektiv).
