Stetigkeit Eine Funktion f ist stetig im Punkt a, wenn f¨ur alle Folgen (xn

Stetigkeit

Eine Funktion f ist stetig im Punkt a, wenn f¨ ur alle Folgen (x n ) mit Grenzwert a die Funktionswerte f (x n ) gegen f (a) konvergieren:

x n → a = ⇒ f (x n ) → f (a) .

Nach Definition des Grenzwerts gibt es zu jedem ε > 0 ein δ _ε mit

|f (x) − f (a)| < ε f¨ ur |x − a| < δ _ε , und man schreibt lim

x→a f (x) = f (a).

Man bezeichnet a als hebbare Definitionsl¨ ucke, wenn f in einer Umgebung

von a definiert ist und der Grenzwert lim x→a f (x) existiert, die Funktion f

also stetig erg¨ anzt werden kann.

Anschaulich bedeutet Stetigkeit, dass sich der Graph ohne abzusetzen

Beispiel

Verschiedene Typen von Unstetigkeitsstellen

Signum-Funktion f (x) = sign(x) Rationale Funktion g (x) = x + 1 x ² − 1

-1 0 1

-1 0 1

-2 0 2

-5

0

5

g (x) =

x ² − 1 :

Definitionsl¨ ucken bei x = ±1 Polstelle bei x = 1:

x → 1 = ⇒ |g (x)| → ∞ hebbare Definitionsl¨ ucke bei x = −1:

g (x) = x + 1

x ² − 1 = x + 1

(x + 1)(x − 1) = 1

x − 1 , x 6= −1

Nach Erg¨ anzen des Funktionswertes g (−1) = − ¹ ₂ ist g stetig bei

x = −1.

Beispiel

Verschiedene Typen von Unstetigkeitsstellen

f (x) = sin(1/x): unstetig bei x = 0 wegen Oszillationen zwischen ±1 g (x) = x sin(1/x): hebbare Definitionsl¨ ucke bei x = 0

0 ≤ |g (x)| ≤ |x| stetige Erg¨ anzung g (0) = 0

f (x) = sin(1/x) g (x) = x sin(1/x)

-1 0 1

-1 0 1

-1 0 1

-1

0

1

lim

x→a

f (x) = f ⁻ (a), lim

x→b

f (x ) = f ⁺ (b) , indem man nur Argumente x auf der entsprechenden Seite von a betrachtet.

Ist an einer Sprungstelle von

f ein Funktionswert definiert,

so wird dieser im Allgemei-

nen durch einen fett ge-

zeichneten Punkt im Graphen

hervorgehoben, um anzudeu-

ten, ob er mit dem links-

oder rechtsseitigen Grenzwert

ubereinstimmt. ¨