Stetigkeit multivariater Funktionen Eine Funktion f : Rn ⊇

Stetigkeit multivariater Funktionen

Eine Funktion f : R

⊇ D → R

ist in einem Punkt (a

, . . . , a

) ihres Definitionsbereichs D stetig, wenn

x → a = ⇒ f (x) → f (a) ,

d.h. f¨ ur alle ε > 0 existiert δ(ε) > 0, so dass

|x − a| < δ = ⇒ |f (x) − f (a)| < ε .

Gilt dies f¨ ur alle Punkte a ∈ D, so ist f stetig auf D.

Existiert der Grenzwert f¨ ur einen Punkt a auf dem Rand ∂D des

Definitionsbereichs, so l¨ asst sich f in diesen Randpunkt stetig fortsetzen.

Stetigkeit ist vertr¨ aglich mit den arithmetischen Operation, d.h. eine Summe, ein Produkt und ein Quotient stetiger Funktionen ist stetig. Bei der Bildung eines Quotienten muss lediglich vorausgesetzt werden, dass der Nenner keine Nullstelle hat. Desweiteren ist die

Hintereinanderschaltung stetiger Funktionen stetig.

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Beispiel

Unstetigkeit nicht-konstanter bivariater in Polarkoordinaten gegebener Funktionen f , die nur vom Winkel und nicht vom Radius abh¨ angen

f : (r , ϕ) 7→ f (ϕ) mit x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, r = p

x

+ y

z.B.

f (x, y) = xy

x

+ y

= cos ϕ sin ϕ

-1 0 1 -1

0 1

-0.5 0 0.5

Einschr¨ ankung auf Gerade durch den Ursprung, g : y = mx bzw.

g : ϕ = c konstanter Funktionswert:

f (x, mx) = mx

x

+ (mx)

= m

1 + m

= c

bzw. f (ϕ) = cos ϕ sin ϕ = c

nicht stetig fortsetzbar f¨ ur (x, y) → (0, 0), da verschiedener Grenzwert f¨ ur jede Ursprungsgerade:

x→0

lim f (x, mx) = lim

x→0

m

1 + m

= m 1 + m

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