Extremwerte stetiger Funkionen
Eine stetige Funktionf : Rn⊇D →Rbesitzt auf einer kompakten Menge K ⊆D sowohl ein Minimum als auch ein Maximum.
Auf dem links abgebildeten Funktionsgraphen sind Minima und ein Maximum markiert. Bei den Niveaulinien erkennt man die Extremstellen durch geschlossene Kurven, die diese Punkte einschließen.
-1 4 0 1 2
2 4
3
0 2
-2 -2 0
-4 -4 -4 -2 0 2 4
-4 -2 0 2 4
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Aquivalenz von Normen¨
Jede Vektornorm k · kin Rn ist zur euklidischen Norm | · |¨aquivalent, d.h.
es gibt positive Konstanten ck mit
c1kxk ≤ |x| ≤c2kxk f¨ur alle x ∈Rn.
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Beweis
Die Ungleichungen sind skalierungsinvariant, d.h. invariant unter der Substitution x→sx mits ∈R.
betrachte nur Vektorenx auf der Einheitssph¨are
S : |x|= 1
kxk 6= 0 f¨ur x∈S =⇒ Stetigkeit der Funktion x 7→ |x|/kxk (∗) S kompakt =⇒ ∃ positives Minimumc1 und Maximumc2
(∗) Beweis der Stetigkeit der Norm mit Hilfe der Dreiecksungleichung:
kxk ≤ kx−yk+kyk, kyk ≤ ky−xk+kxk
=⇒ (nach Umformung)
±(kxk − kyk)≤ kx−yk bzw. | kxk − kyk | ≤ kx−yk,
d.h. k kist Lipschitz-stetig mit Konstante 1
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