·(ζn−zn) eine stetige Funktion kf :P ×T →C

§2 Das Cauchy-Integral

Wir wollen jetzt die Cauchys’che Integralformel in mehreren Ver¨anderlichen for- mulieren.

Sei r = (r₁, . . . , r_n)∈Rⁿ+, P =Pⁿ(0,r), T =Tⁿ(0,r), und f eine stetige Funktion auf T. Dann definiert

k_f(z,ζ) := f(ζ)

(ζ−z)^(1,...,1) = f(ζ₁, . . . , ζ_n) (ζ₁ −z₁)· · ·(ζ_n−z_n) eine stetige Funktion k_f :P ×T →C.

Definition

C_f(z) :=

1 2πi

nZ

T

k_f(z,ζ)dζ

:=

1 2πi

n Z

|ζ1|=r1

· · · Z

|ζn|=rn

f(ζ) dζ₁

(ζ₁−z₁)· · · dζ_n (ζ_n−z_n) nennt man dasCauchy-Integral von f ¨uberT.

Offensichtlich ist C_f eine stetige Funktion auf P.

2.1. Theorem (Cauchy’sche Integralformel)

Seien P, T wie oben gegeben, sowie U =U(P) eine offene Umgebung vonP. Ist f schwach holomorph auf U, so ist C_f|T(z) =f(z) f¨ur jedes z∈P.

Beweis: Ist P = D_r1(0) × · · · ×D_rn(0), so k¨onnen wir annehmen, dass U = U₁× · · · ×U_n ist, mit offenen UmgebungenU_i =U_i

D_ri(0)

, f¨uri= 1, . . . , n.

Da f schwach holomorph ist, k¨onnen wir ein z⁰ = (z₁, . . . , zn−1)∈U₁× · · · ×Un−1

festhalten und die Cauchy’sche Integralformel in einer Variablen aufζ_n7→f(z⁰, ζ_n) anwenden. F¨ur zn∈Drn(0) folgt dann:

f(z⁰, z_n) = 1 2πi

Z

|ζn|=rn

f(z⁰, ζn) ζ_n−z_n dζ_n.

Genauso erhalten wir f¨ur die vorletzte Variable z_n−1 und z⁰⁰ = (z₁, . . . , z_n−2) ∈ U₁× · · · ×Un−2:

f(z⁰⁰, zn−1, z_n) = 1 2πi

|ζn−1|=rn−1

f(z , ζn−1, z_n) ζ_n−1−z_n−1 dζn−1

= 1

2πi

2 Z

|ζn−1|=rn−1

Z

|zn|=rn

f(z⁰⁰, ζn−1, ζ_n)

(ζ_n−1−z_n−1)(ζ_n−z_n)dζ_ndζn−1, und nach n Schritten erh¨alt manf(z) =Cf|T(z), f¨ur z∈P.

2.2. Theorem (Potenzreihenentwicklung)

Sei P = Pⁿ(0,r) ⊂ Cⁿ ein Polyzylinder und T sein ausgezeichneter Rand. Ist f :T →C eine stetige Funktion, so gibt es eine Potenzreihe P

ν≥0a_νz^ν, die auf ganz P gegen C_f(z) konvergiert.

Die Koeffizienten a_ν dieser Reihe sind durch

aν1···νn = 1

2πi nZ

T

f(ζ1, . . . , ζn) ζ₁^ν1+1· · ·ζn^νn+1

dζ1· · ·dζn.

gegeben.

Beweis: Wir setzen1:= (1, . . . ,1)∈Nⁿ0. F¨urz∈P und ζ ∈T folgt dann:

1

(ζ−z)¹ = 1

(ζ₁−z₁)· · ·(ζ_n−z_n) = 1 ζ1· · ·ζn·

1− z₁ ζ₁

· · · 1− z_n

ζ_n

= 1

ζ¹ ·

∞

X

ν1=0

z1

ζ₁ ν1

· · ·

∞

X

νn=0

zn

ζ_n νn

.

Ist r= (r₁, . . . , r_n), so gilt f¨ur festes z∈P und beliebiges ζ ∈T :

z_j ζ_j

=q_j := |z_j|

r_j <1, for j = 1, . . . , n.

Da T kompakt und f stetig auf T ist, gibt es eine Konstante M mit |f(ζ)| ≤ M auf T. Dann wird P

ν≥0 f(ζ)/ζ^ν+1

z^ν auf T von der konvergenten Reihe (M/r¹)P

ν≥0q^ν majorisiert, wobei q = (q₁, . . . , q_n) ist. Deshalb konvergiert die Reihe aufT normal gegenf(ζ)/(ζ−z)¹. Wir k¨onnen Summation und Integration vertauschen:

C_f(z) = 1

2πi nZ

T

f(ζ)

(ζ−z)¹dζ =X

ν≥0

a_νz^ν, mit

a_ν :=

1 2πi

nZ

T

f(ζ) ζ^ν+1 dζ.

Die Reihe konvergiert f¨ur jedesz∈P.

2.3. Satz von Osgood

Sei B ⊂ Cⁿ offen. Folgende Aussagen ¨uber eine Funktion f : B → C sind

¨aquivalent:

1. f ist holomorph.

2. f ist komplex differenzierbar.

3. f ist schwach holomorph.

Beweis: Wir wissen schon, dass eine holomorphe Funktion f komplex differen- zierbar ist, und es ist trivial, dassf dann schwach holomorph ist.

Sei umgekehrt f : B → C schwach holomorph und z₀ ∈ B ein beliebiger Punkt.

Es gibt einen kleinen Polyzylinder P um z₀, der relativ kompakt in B liegt. Ist T sein ausgezeichneter Rand, so ist f|_P = Cf|T, und das Cauchy-Integral ist die Grenzfunktion einer Potenzreihe. Also istf holomorph.

Bemerkung: Dar¨uber hinaus gilt: Ist f schwach holomorph auf B, z₀ ∈ B ein Punkt und P ⊂⊂ B ein Polyzylinder um z0, so gibt es eine Potenzreihe S(z) = P

ν≥0a_ν(z−z₀)^ν, die auf ganz P gegenf konvergiert.

2.4. Weierstraß’scher Konvergenzsatz

Sei G⊂Cⁿ ein Gebiet und (f_k) eine Folge von holomorphen Funktionen auf G, die gleichm¨aßig gegen eine Funktion f konvergiert. Dann ist f holomorph.

Beweis: Die Grenzfunktion ist stetig. Sei z0 ∈G ein Punkt, P ⊂⊂ G ein Poly- zylinder um z₀ und T sein ausgezeichneter Rand. Dann gilt:

f|_P = lim

k→∞f_k|_P = lim

k→∞C_fk|T.

DaT kompakt ist, kann man Integral und Grenzwert vertauschen. So gilt f¨ur jedes feste z∈P :

k→∞lim C_fk|T(z) = C_lim

k→∞fk|T(z) =C_f|T(z).

Da f auf T stetig ist, hat das Cauchy-Integral Cf|T eine Potenzreihenentwicklung auf P. Deshalb istf holomorph in z₀.

2.5. Satz

Sei S(z) = P

ν≥0a_νz^ν eine Potenzreihe und G ihr Konvergenzgebiet. Dann ist die Grenzfunktionf von S(z) holomorph auf G, und die formale Ableitung

S_zj(z) = X

ν≥0 νj>0

a_ν ·ν_jz₁^ν1· · ·z_j^νj−1· · ·z_n^νn

konvergiert gegen f_zj. Insbesondere sind auch alle partiellen Ableitungen von f holomorph.

Beweis: Da S(z) auf G kompakt konvergiert, ist f lokal gleichm¨aßiger Limes einer Folge von Polynomen. Aus dem Konvergenzsatz von Weierstraß folgt nun, dass f holomorph ist. Aber auch die formal abgeleitete Reihe S_zj(z) konvergiert aufGkompakt, und ihre Grenzfunktiongj ist dann holomorph aufG. Wir m¨ussen noch zeigen, dass f_zj =g_j ist.

Sei z₀ ein beliebiger Punkt von G. Da G ein vollst¨andiges Reinhardt’sches Gebiet ist, gibt es einen PolyzylinderP um den Ursprung mitz0 ∈P ⊂⊂G. Wir definieren

f^∗(z) :=

Z zj

0

g_j(z₁, . . . , z_j−1, ζ, z_j+1, . . . , z_n)dζ+f(z₁, . . . ,0, . . . , z_n).

Als Integrationsweg w¨ahlen wir die Verbindungsstrecke zwischen 0 und zj in der z_j-Ebene. Dann ist f^∗ auf P definiert.

Sei S(z) = P∞

k=0p_k(z) die Entwicklung vonS in homogene Polynome, mit p_k(z) = P

|ν|=kaνz^ν. Die pk sind holomorphe Funktionen, mit (p_k)_zj(z) = X

|ν|=k νj>0

a_ν ·ν_jz^ν₁¹· · ·z^ν_j^j−1· · ·z^ν_nⁿ,

und diese Reihen konvergieren auf dem oben benutzten kompakten Integrationsweg gleichm¨aßig gegeng_j. Deshalb k¨onnen wir Summation und Integration vertauschen und erhalten

f^∗(z) =

∞

X

k=0

Z zj

0

(p_k)_zj(z₁, . . . , ζ, . . . , z_n)dζ+p_k(z₁, . . . ,0, . . . , z_n)

=

∞

X

k=0

p_k(z) = f(z), f¨urz∈P. Also ist speziell f_zj(z₀) = f_z^∗

j(z₀) =g_j(z₀).

2.6. Folgerung

Sei G ⊂ Cⁿ ein Gebiet und f : G → C eine holomorphe Funktion. Dann ist f unendlich oft komplex differenzierbar inG.

Ist ν = (ν₁, . . . , ν_n) ein Multiindex, so setzen wir ν! := ν₁!· · ·ν_n! und D^νf(z₀) := ∂^|ν|f

∂z₁^ν1· · ·∂z_n^νn(z₀).

2.7. Identit¨atssatz f¨ur Potenzreihen

Seien f(z) = P

ν≥0a_νz^ν und g(z) = P

ν≥0b_νz^ν zwei konvergente Potenzreihen in einer Umgebung U = U(0) ⊂ Cⁿ. Gibt es eine Umgebung V(0) ⊂ U mit f|_V =g|_V, so ist a_ν =b_ν f¨ur alle ν.

Beweis: Wir wissen, dassf undg holomorph und damit komplex differenzierbar sind. Dann giltD^νf(0) =D^νg(0) f¨ur alleν. Speziell ista0...0 =f(0) =g(0) = b0...0, und sukzessive Differentiation ergibt

D^νf(0) =ν!·a_ν und D^νg(0) =ν!·b_ν, f¨ur alle ν.

2.8. Folgerung

Sei G ⊂ Cⁿ ein Gebiet, z₀ ∈ G ein Punkt und f : B → C eine holomorphe Funktion. Ist f(z) = P

ν≥0a_ν(z−z₀)^ν die (eindeutig bestimmte) Potenzreihen- entwicklung nahe z₀ ∈G, so gilt

aν = 1

ν!·D^νf(z0), f¨ur jedes ν ∈Nⁿ0.

2.9. Satz (Cauchy’sche Ungleichungen)

Sei G ⊂ Cⁿ ein Gebiet, f : G → C holomorph, z0 ∈ G ein Punkt und P = Pⁿ(z₀,r)⊂⊂G ein Polyzylinder mit ausgezeichnetem Rand T. Dann ist

|D^νf(z₀)| ≤ ν!

r^ν ·sup

T

|f|.

Beweis: Sei f(z) = P

ν≥0a_ν(z−z₀)^ν die Potenzreihenentwicklung von f inz₀. Dann ist D^νf(z₀) = ν!a_ν und a_ν =

1 2πi

nZ

T

f(ζ)

(ζ −z₀)^ν+1 dζ, also

|D^νf(z₀)| ≤ ν!

(2π)ⁿ Z

T

|f(ζ)|

r^ν+1 dζ

= ν!

(2π)ⁿ Z

[0,2π]ⁿ

|f(z₁⁽⁰⁾+r₁e^it1, . . . , z⁽⁰⁾_n +r_ne^itn)|

r^ν dt₁· · ·dt_n

≤ ν!

r^ν ·sup

T

|f|.

Im Folgenden seiG immer ein Gebiet imCⁿ.

2.10. Identit¨atssatz f¨ur holomorphe Funktionen

Seien f1, f2 zwei holomorphe Funktionen auf G. Wenn es eine nicht-leere offene TeilmengeU ⊂G mit f₁|_U =f₂|_U gibt, dann ist f₁ =f₂.

Beweis: Wir betrachten f :=f₁−f₂ und die Menge N :={z∈G : D^νf(z) = 0 f¨ur alle ν}.

dann istN 6=∅, da U ⊂N ist. Sei z₀ ∈G ein beliebiger Punkt und f(z) = X

ν≥0

1

ν!D^νf(z₀)(z−z₀)^ν

die Potenzreihenentwicklung von f in einer Umgebung V =V(z₀) ⊂ G. Wenn z₀ zu N geh¨ort, dann ist f|_V ≡ 0 und deshalb V ⊂ N. Das zeigt, dass N offen ist.

Weil alle Ableitungen D^νf stetig sind, ist N abgeschlossen. Da G ein Gebiet ist, erhalten wir N =G und f₁ =f₂.

Bemerkung: Im Gegensatz zu der Theorie der Funktionen von einer komple- xen Variablen reicht es nicht aus, wenn f1 und f2 auf einer Menge M mit ei- nem H¨aufungspunkt in G ¨ubereinstimmen. Betrachten wir z.B. G = C² und M = {(z₁, z₂) : z₂ = 0}, so stimmen die holomorphen Funktionen f₁(z₁, z₂) :=

z2(z1 −z2) und f2(z1, z2) := z2(z1+z2) auf M uberein, es ist aber¨ f1(0,1) = −1 und f₂(0,1) = 1.

2.11. Maximumprinzip

Sei f :G→C eine holomorphe Funktion. Wenn |f| in einem Punkt z₀ ∈G ein lokales Maximum annimmt, so ist f konstant.

Beweis: Sei B ⊂ G eine Kugel mit dem Mittelpunkt z₀. F¨ur ein beliebiges w6=0 betrachten wir die Abbildungϕ_w:C→Cⁿ mit ϕ_w(ζ) =z₀+ζw. Dann ist B_w :={ζ ∈C : ϕ_w(ζ)∈B} eine offene, zusammenh¨angende Umgebung der Null inC, undf◦ϕ_weine holomorphe Funktion von einer komplexen Variablen auf B_w. Da|f ◦ϕ_w|ein lokales Maximum im Nullpunkt annimmt, muss diese Funktion auf B_w konstant sein. Aber die Richtungw wurde beliebig gew¨ahlt, also mussf aufB konstant sein. Aus dem Identit¨atssatz folgt, dass f auf G konstant ist.