Prof. Dr. W. Bergweiler SS 2014 Analysis IV
Serie 3
1. Sei Ω⊆CGebiet und seif: Ω→Cholomorph. Zeigen Sie, dassf konstant ist, falls eine der folgenden Bedingungen gilt:
(a) Re f ist konstant;
(b) Imf ist konstant;
(c) |f|ist konstant.
2. Sei Ω ⊆ C Gebiet und sei f: Ω → C holomorph. Sei Ω = {z ∈ C: z ∈ Ω}. Zeigen Sie, dass g: Ω→C, g(z) =f(z), holomorph ist, mit g0(z) = f0(z).
Zeigen Sie weiterhin, dass die Funktion h: Ω→C, h(z) =f(z), nur dann holomorph ist, wenn f konstant ist.
3. Sei γ: [0,2π]→C, γ(t) = eit, und sei f: Sp(γ)→R stetig. Zeigen Sie, dass
Z
γ
f(z)dz
≤4 max
z∈Sp(γ)|f(z)|.
Bemerkung. Der Fall R
γf(z)dz ≥0 ist etwas einfacher. Es kann sinnvoll sein, zun¨achst diesen zu betrachten.
4. Sei Ω⊆Coffen und sei S eine kompakte Teilmenge von Ω, die f¨ur geeignete a, b, c, d∈R mit a < b und c < d sowie Funktionen α, β ∈ C1[a, b] und γ, δ ∈ C1[c, d] sowohl in der Form
S ={(x, y)∈R2: a≤x≤b, α(x)≤y≤β(x)}
wie auch in der Form
S ={(x, y)∈R2: c≤y≤d, γ(y)≤x≤δ(y)}
geschrieben werden kann. Sei f = (u, v)∈C1(Ω,R2). Zeigen Sie, dass Z
∂S
hf(z), dzi= Z
S
∂v(x, y)
∂x −∂u(x, y)
∂y
d(x, y)
Dabei ist eine Parametrisierung von ∂S “entgegen dem Uhrzeigersinn” zu nehmen.
Hinweis. Schreiben Sie f = g +h mit g = (u,0) und h = (0, v) und benutzen Sie die erste der angegebenen Formen von S um zu zeigen, dass
Z
∂S
hg(z), dzi=− Z
S
∂u(x, y)
∂y d(x, y).
Es reicht, die analoge Rechnung f¨ur hzu skizzieren.
Die L¨osungen sind bis Dienstag, den 06.05.2014, 10:00 Uhr, im Fach des jeweiligen ¨Ubungsleiters abzugeben.
