Prof. Dr. J. Ebert PD Dr. T. Timmermann
Ubung zur Analysis 3¨ Blatt 5
Abgabe bis Do, 26.11., 12 Uhr Aufgabe 1 zur Bearbeitung in der ¨Ubung Aufgaben 2-5 zur selbst¨andigen Bearbeitung
Aufgabe 1. (a) Bezeichne µ das Z¨ahlmaß auf N und sei f:N → [0,∞) gegeben.
Zeigen Sie mit Hilfe des Satzes von Beppo-Levi, dass Z
N
f dµ=
∞
X
n=1
f(n),
indem Sie die Partialsummen als Integrale geeigneter Hilfsfunktionen interpretieren.
(b) Sei (X,B, µ) ein Maßraum,N ⊆X eine Nullmenge und f, g:X →[0,∞] messbar mitf(x) =g(x) f¨ur allex∈X\N. Zeigen Sie, dass dann
Z
X
f dµ= Z
X
g dµ.
Aufgabe 2. Seien a, b∈Rmita < b und seif: [a, b]→[0,∞) stetig. Zeigen Sie:
(a) Sindx0=a < x1 < . . . < xn=b, so gilt
n
X
k=1
x∈[xmink−1,xk]f(x)(xk−xk−1)≤ Z
[a,b]
f dµ≤
n
X
k=1
x∈[xmaxk−1,xk]f(x)(xk−xk−1), wobei das Integralzeichen das Integral bez¨uglich des Lebesgue-Maßes bezeichne (und nicht das Riemann-integral aus Analysis I).
(b) Es gilt
Z b
a
f(t)dt= Z
[a,b]
f dµ,
wobei die linke Seite das Riemann-Integral und die rechte Seite das Lebesgue- Integral bezeichne.
Aufgabe 3. Sei (X,B, µ) ein Maßraum.
(a) Zeigen Sie, dass f¨ur jede Folge messbarer Funktionen fn:X→[0,∞] gilt:
Z
X
∞
X
n=1
fndµ=
∞
X
n=1
Z
X
fndµ.
(b) Seif:X→[0,∞] messbar. Zeigen Sie, dass dann durch µf(A) :=
Z
A
f dµ f¨ur jedesA∈ B
ein Maßµf aufXdefiniert wird. (Hinweis: Der Knackpunkt ist dieσ-Additivit¨at.)
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Aufgabe 4. Sei (X,B, µ) ein Maßraum, f:X → [0,∞] messbar und g: R → [0,∞]
definiert durch
g(t) :=µ({x∈X:f(x)> t}) f¨ur alle t∈R. Zeigen Sie:
(a) Istf eine Stufenfunktion, so ist auchgeine Stufenfunktion und dann gilt Z
X
f dµ= Z
[0,∞)
g dλ, (1)
wobeiλdas Lebesgue-Maß auf Rbezeichne.
(b) Ist (fn)neine Folge von Stufenfunktionen mitfn%f, so gilt f¨ur die entsprechend gebildeten Funktiongn auchgn%g.
(c) Die Gleichung (1) gilt f¨ur jede messbare Funktionf:X→[0,∞].
Zusatzaufgabe 5. BezeichneC⊆[0,1] die Cantor-Menge,U := [0,1]\Cderen Kom- plement undfC: [0,1]→[0,1] die Cantor-Volterra-Funktion wie in Aufgabe 5 von Blatt 4. Zeigen Sie:
(a) Die Abbildung g: [0,1]→ [0,2], definiert durch g(t) :=t+fC(t), ist einHom¨oo- morphismus, was nach Definition bedeutet, dass g stetig und bijektiv ist sowie dass die Umkehrfunktiong−1: [0,2]→[0,1] ebenfalls stetig ist.
(b) Die Bilder g(C) und g(U) sind messbar und haben jeweils Maß 1.
(c) Die Cantor-Menge C enth¨alt eine Nullmenge T, deren Bild unter dem Hom¨oo- morphismusgnicht messbar ist. (Hinweis: Verwenden Sie Korollar 34 des Skriptes.)
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