Prof. Dr. J. Ebert PD Dr. T. Timmermann
Ubung zur Analysis 3¨ Blatt 8
Abgabe bis Do, 17.12., 12 Uhr Aufgabe 1 zur Bearbeitung in der ¨Ubung Aufgaben 2-5 zur selbst¨andigen Bearbeitung
Aufgabe 1. F¨ur die Integration imR3 ist manchmal die Polarkoordinatentransforma- tion Q: (0,∞)×(0,2π)×(0, π)→R3 hilfreich, die definiert ist durch
Q(r, θ, φ) =
rsinφcosθ rsinφsinθ
rcosφ
.
(a) Berechnen Sie die Jacobi-Matrix J Q= (∂jQi)i,j von Q.
(b) Zeigen Sie, dass deren Determinante gegeben ist durch detJ Q(r, θ, φ) =r2sinφ.
(c) Zeigen Sie, dass Q injektiv ist, und dass das Komplement des Bildes von Q eine Nullmenge ist.
(d) Berechnen Sie mit Hilfe dieser Transformation das Volumen der Einheitskugel.
Aufgabe 2. (a) Wir betrachten den K¨orper K, der von einem Kegel vom Winkel 60◦ durch die Kugel vom Radiusr= 2 abgeschnitten wird, deren Mittelpunkt die Spitze des Kegels ist, alsoK ={(x, y, z)∈R3 : 3(x2+y2)≤z2, x2+y2+z2 ≤4}.
Das folgende Bild zeigt dasViertel von K, das im Oktanten x≥0, y ≥0 liegt:
Zeigen Sie mit Hilfe der Polarkoordinatentransformation aus Aufgabe 1, dass das Volumen und diez-Koordinate des Schwerpunktes vonK, also
V = Z
K
dµ(x, y, z) und zS = 1 V
Z
K
z dµ(x, y, z), gegeben sind durch V = 8π3 2−√
3
und zS = 3(2+
√3)
8 .
(b) Bezeichne D den K¨orper, der von dem Paraboloid z = 2x2+y2 und der Fl¨ache z = 4−y2 eingeschlossen wird, und sei f:D → R integrierbar. Bestimmen Sie Integrationsgrenzen x0, x1,y0(x), y1(x), z0(x, y),z1(x, y) mit
Z
D
f(x, y, z)dµ(x, y, z) = Z x1
x0
Z y1(x)
y0(x)
Z z1(x,y)
z0(x,y)
f(x, y, z)dz dy dx.
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Aufgabe 3. Seien f, g∈L1(R).
(a) Zeigen Sie, dass die Faltung f∗g:R→R, definiert durch (f∗g)(x) =
Z
R
f(y)g(x−y)dy,
integrierbar ist undkf∗gk1 ≤ kfk1kgk1erf¨ullt. (Hinweis: Verwenden Sie erst den Satz von Tonelli und dann den von Fubini f¨ur die Funktion (x, y)7→f(y)g(x−y).
Ignorieren Sie die Frage, ob diese Funktion messbar ist. Sie ist es, nach Satz 3.15 aus dem Skript (Version vom 7.12.))
(b) Sei zus¨atzlich g stetig differenzierbar mit g0 ∈L1(R)∩L∞(R). Zeigen Sie, dass dann auch f∗g stetig differenzierbar ist mit (f ∗g)0 =f ∗(g0).
Aufgabe 4. Wir betrachten die Funktion f:R → R, definiert durch f(x) = e−12x2, und deren Fourier-Transformierte
g(ξ) =fb(ξ) = 1
√2π Z
R
f(x)e−ixξd(x).
Zeigen Sie, dass ˆf(ξ) = e−ξ
2
2 , d.h. f ist ihre eigene Fouriertransformierte. Hinweis:
differenzieren Sieeξ
2
2 fˆ(ξ), beachten Sief0(x) +xf(x) = 0 und nutzen Sie Aufgaben 1,2 von Blatt 6 sowie das Integral R∞
−∞e−x
2
2 dx=√
2π.
Zusatzaufgabe 5. Es sei f : R → C zweimal stetig differenzierbar und es gelte f, f0, f00∈L1(R). Zeigen Sie dieFourierumkehrformel:
f(x) = 1
√2π Z
R
f(ξ)eˆ iξxdξ in folgenden Schritten
(a) Die Fouriertransformierte ˆfist eineL1-Funktion. Zeigen Sie daf¨ur, dass|ξ2f(ξ)| ≤ kf00k1 gilt.
(b) √1
2π
R
R
fˆ(ξ)eiξxdξ= limt→0 √1 2π
R
R
fˆ(ξ)e−t2ξ2/2eiξxdξ. (Warum?) (c) limt→0 √1
2π
R
R
fˆ(ξ)e−t2ξ2/2eiξxdξ = limt→0√1 2π
R
Re−z2/2f(x+tz)dx: Fubini, Ver- tauschung der Integrationsreihenfolge und Aufgabe 4.
(d) Der Grenzwert istf(x).
2
