Prof. Dr. J. Ebert PD Dr. T. Timmermann
Ubung zur Analysis 1¨ Blatt 6
Abgabe bis Do, 27.11., 12 Uhr Aufgabe 1 zur Bearbeitung in der ¨Ubung Aufgaben 2-4 zur selbst¨andigen Bearbeitung
Aufgabe 1. Pr¨ufen Sie folgende Reihen auf Konvergenz,
(a)
∞
X
n=0
(2n)!n!
(3n)! , (b)
∞
X
n=0
√n 1 +√
n, (c)
∞
X
n=0
an 1 +an,
wobeia ∈Rpositiv sei, und begr¨unden Sie Ihre Antwort.
Aufgabe 2. (a) Seien P
nan und P
nbn konvergente Reihen. Zeigen Sie, dass dann auch die Reihe P
n(an+bn) konvergiert.
(b) Pr¨ufen Sie folgende Reihen auf Konvergenz und begr¨unden Sie Ihre Antwort:
∞
X
n=1
(−1)n
n + 1
n2
,
∞
X
n=1
1
n +(−1)n n2
.
Aufgabe 3. Sei q eine reelle Zahl, k ∈ N0 und p ein Polynom vom Grad k der Form p(x) = Pk
j=0ajxj mit festen Koeffizienten a0, . . . , ak ∈ R und ak 6= 0.
Pr¨ufen Sie folgende Reihen auf Konvergenz und begr¨unden Sie Ihre Antwort:
(a)
∞
X
n=0
nkqn, (b)
∞
X
n=0
p(n)qn.
Aufgabe 4. Seien (an)n und (bn)n zwei Folgen nicht-negativer reeller Zahlen, so dass C, D >0 existieren mit bn ≤Can und an ≤Dbn f¨ur fast allen. Zeigen Sie:
(a) Die Reihe P∞
n=0an konvergiert genau dann, wenn P∞
n=0bn konvergiert.
(b) Sind pund qPolynome vom Grad k beziehungsweisel und q(n)6= 0 f¨ur alle n ∈ N0, so konvergiert die Reihe P∞
n=0 p(n)
q(n) genau dann, wenn k ≤ l−2.
(Hinweis: Benutzen Sie das “Wachstumslemma”, Aufgabe 2 von Blatt 3.) Zusatzaufgabe 5. Zeigen Sie: F¨ur jede konvergente ReiheP
nannicht-negativer reeller Zahlen existiert eine Folge (bn)n mit lim
n→∞bn = ∞, f¨ur die auch P
nanbn
noch konvergiert.
(Hinweis: Es gibt Indizes n1 < n2 <· · · mit P∞
n=nkan<2−k.)
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