d und sagt, dass der links-seitige Grenzwert von f in c ex- istiert und gleich d ist, falls folgende ¨aquivalente Bedinungen erf¨ullt sind

Prof. Dr. J. Ebert PD Dr. T. Timmermann

Ubung zur Analysis 1¨ Blatt 9

Abgabe bis Do, 18.12., 12 Uhr Aufgabe 1 zur Bearbeitung in der ¨Ubung Aufgaben 2-4 zur selbst¨andigen Bearbeitung

Aufgabe 1. (a) Sei f: (a, b) → R und c ∈ (a, b) sowie d ∈ R. Man schreibt limx%cf(x) = d und sagt, dass der links-seitige Grenzwert von f in c ex- istiert und gleich d ist, falls folgende ¨aquivalente Bedinungen erf¨ullt sind:

• ∀ >0∃δ >0∀x∈(a, c) :c−x < δ ⇒ |f(x)−d|< ;

• f¨ur jede Folge (x_n)_n in (a, c) mit lim_nx_n=cgilt lim_nf(x_n) =d.

Analog definiert man den rechts-seitigen Grenzwert limx&cf(x).

Zeigen Sie: fist stetig incgenau dann, wenn der links- und der rechts-seitige Grenzwert von f in cexistieren und ¨ubereinstimmen.

(b) Sei n∈N0. Dann ist die Funktion

f_n: R→R, x7→

(0, x≤0, xⁿ⁺¹, x≥0,

auf (−∞,0) und auf (0,∞) offensichtlich beliebig oft differenzierbar. Wie oft ist sie in 0 differenzierbar?

Aufgabe 2. (a) Sein ∈N und x∈R. Berechnen Sie die Summe

n−1

X

k=0

(k+ 1)x^k

durch Ableiten der Formel f¨ur geometrische Summen.

(b) F¨ur welche x∈R konvergiert die ReiheP∞

k=0(k+ 1)x^k und wogegen?

Aufgabe 3. Pr¨ufen Sie, ob die Funktion

f: R→R, x7→ x

√1 +x²,

(a) differenzierbar, (b) monoton, (c) injektiv ist und (d) was ihr Bild ist.

Aufgabe 4. Sei n∈N0. Das n-te Legendre-Polynom ist gegeben durch P_n(x) = dⁿ

dxⁿ (1−x²)ⁿ . (a) Welchen Grad hat das Polynom P_n?

1

Prof. Dr. J. Ebert PD Dr. T. Timmermann

(b) Zeigen Sie, dass Pn die Differenzialgleichung

(1−x²)P_n⁰⁰(x)−2xP_n⁰(x) +n(n+ 1)P_n(x) = 0 f¨ur allex∈R erf¨ullt. Berechnen Sie dazu

dⁿ⁺¹

dxⁿ⁺¹ (1−x²)g⁰(x)

und dⁿ⁺¹

dxⁿ⁺¹ (−2nxg(x)), wobei g(x) = (1−x²)ⁿ, mit Hilfe der Formel

(uv)⁽ⁿ⁾(x) =

n

X

k=0

n k

u^(k)(x)v^(n−k)(x),

die f¨ur um x n-mal differenzierbare Funktionen u, v gilt. (Diese folgt aus der Produktregel und einer ¨ahnlichen Induktion wie der binomischen Satz).

Zusatzaufgabe 5. (Die Ableitung f⁰ einer differenzierbaren Funktion f erf¨ullt die Folgerung des Zwischenwertsatzes, auch wenn f⁰ nicht stetig ist.)

Sei f:R→R differenzierbar und seien a, b∈R mit a < b. Zeigen Sie:

(a) Die Funktionen h: (a, b]→R und g: [a, b)→R, gegeben durch

h(x) = f(x)−f(a)

x−a , g(x) = f(b)−f(x) b−x , lassen sich zu stetigen Funktionen auf ganz [a, b] fortsetzen.

(b) F¨ur jedes γ zwischen f⁰(a) und f⁰(b) existiert ein x ∈ [a, b] mit γ = h(x) oder γ =g(x).

(c) F¨ur jedes γ zwischen f⁰(a) und f⁰(b) existiert ein ξ ∈ [a, b] mit γ = f⁰(ξ).

(Hinweis: Mittelwertsatz.)

2