Seien u, v:C→Rdifferenzierbar, f =u+iv:C→Cund ∂zf

Prof. Dr. J. Ebert PD Dr. T. Timmermann

Ubung zur Analysis 3¨ Blatt 11

Abgabe bis Do, 21.01., 12 Uhr Aufgabe 1 zur Bearbeitung in der ¨Ubung Aufgaben 2-5 zur selbst¨andigen Bearbeitung

Aufgabe 1. Seif:C→Cdefiniert durch

f(x+iy) = (x²+y²−2)(x−iy).

(a) Berechnen Sie die Jacobi-Matrix vonf, aufgefasst als Abbildung vonR² nach R². (b) Zeigen Sie: f ist in z=x+iy genau dann komplex differenzierbar, wenn |z|= 1.

(c) Zeigen Sie, dass im Fall|z|= 1 gilt: f⁰(z) =z².

Aufgabe 2. Seien u, v:C→Rdifferenzierbar, f =u+iv:C→Cund

∂_zf := 1

2(∂_xf −i∂_yf), ∂_z¯f := 1

2(∂_xf+i∂_yf).

Nach Vorlesung ist also f ist genau dann in z ∈ C komplex differenzierbar, wenn

∂_z¯f(z) = 0, und in dem Fall gilt f⁰(z) = ∂_zf(z). Ferner sei ¯f:C→ Cdefiniert durch z7→f(¯z). Zeigen Sie:

(a) ∂zf =∂z¯f¯und∂z¯f =∂zf. Sind¯ f und ¯f holomorph, so istf konstant.

(b) Istg:C→Creell differenzierbar, so gilt

∂z(f g) = (∂zf)g+f(∂zg) und ∂z¯(f g) = (∂z¯f)g+f(∂z¯g).

(c) F¨ur alle k∈Nund l∈N0 gilt∂z(z^kz¯^l) =kz^k−1z¯^l und∂z¯(z^lz¯^k) =kz^lz¯^k−1.

(d) Bestimmen Sie alle Punkte z ∈ C, in denen die Funktion f: C → C, gegeben durch f(z) =|z|⁴−2|z|², komplex differenzierbar ist.

Aufgabe 3. (a) Sei f:C→ Czweimal stetig reell differenzierbar. Zeigen Sie, dass dann f¨ur den Laplace-Operator ∆ =∂_x²+∂_y² gilt:

∆f = 4∂z∂z¯f = 4∂z¯∂zf

Folgern Sie: Istf holomorph, so sind der Realteil Ref und der Imagin¨arteil Imf harmonisch in dem Sinn, dass ∆Ref = 0 = ∆Imf.

(b) Pr¨ufen Sie jeweils, ob es holomorphe Funktionen f, g:C→Cgibt mit Ref(x+iy) =x²−y²−x, Reg(x+iy) =x²+y²−x.

Geben Sie jeweils eine solche Funktion an oder begr¨unden Sie, warum es keine geben kann.

Aufgabe 4. (a) SeienP∞

n=0anundP∞

n=0bnabsolut konvergente Reihen mitan, bn∈ C. Zeigen Sie, dass dann

∞

X

n=0

a_n·

∞

X

n=0

b_n=

∞

X

n=0

c_n mitc_n=

n

X

k=0

a_kbn−k,

indem Sie die S¨atze von Beppo-Levi und ¨uber dominierte Konvergenz auf die Funktion (k, l)7→a_kb_l und das Z¨ahlmaß aufN0×N0 anwenden.

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(b) Zeigen Sie, dass e^z+w = e^ze^w f¨ur allez, w ∈C, und folgern Sie e^x+iy= e^x(cosy+ isiny) f¨ur alle x, y ∈ R. (Hinweis: F¨ur letzteres Aufgabe 2(a) von Blatt 12 der Analysis 1 verwenden.)

Zusatzaufgabe 5. Seif:R→Rstetig differenzierbar und 2π-periodisch. Zeigen Sie:

(a) Die Fourier-Koeffizienten f[⁰(k) von f⁰ erf¨ullenf[⁰(k) =ikfd(k).

(b) Die Reihe P

k∈Z|fd(k)|konvergiert.

(Hinweis: Benutzen Sie (a) und die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung.) (c) Die Folge (S_nf)_n, definiert durch (S_nf)(x) = ^√1

2π

P_n

k=−nfd(k)e^ikx, konvergiert gleichm¨aßig.

(d) Zeigen Sie, dass die Folge (Snf)n gleichm¨aßig gegenf konvergiert.

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