Ebert PD Dr

Prof. Dr. J. Ebert PD Dr. T. Timmermann

Ubung zur Analysis 3¨ Blatt 9

Abgabe bis Do, 07.01., 12 Uhr Aufgabe 1 zur Bearbeitung in der ¨Ubung Aufgaben 2-5 zur selbst¨andigen Bearbeitung

Aufgabe 1. SeiR > r >0. Berechnen Sie das Volumen des Torus

T :=

(x, y, z)∈R³ : R−p

x²+y²2

+z²=r²

(a) mit Hilfe der Parametrisierung

F:R³ →R³,



 t φ θ



7→





(R+tcosθ) cosφ (R+tcosθ) sinφ

tsinθ



;

(b) mit Hilfe des Cavalieri-Prinzips durch Integration des Fl¨acheninhaltes von A_z ={(x, y)∈R² : (x, y, z)∈T}

f¨urz von −r bisr.

Aufgabe 2. Es sei

D_n(t) := 1 2π

n

X

k=−n

e^ikt und F_n(t) := 1 n

n−1

X

k=0

D_k(t)

dernte Dirichlet-Kern bzw. dernte Fejer-Kern. Zeigen Sie:

(a) D_n undF_n sind 2π-periodische C^∞-Funktionen mit Z 2π

0

D_n(t)dt= Z 2π

0

F_n(t)dt= 1.

(b) Es gilt

Dn(t) = 1 2π

sin(n+¹₂)t

sin₂^t und Fn(t) = 1 2πn

(sin^nt₂)² (sin₂^t)²

sowieFn≥0. (Hinweis: Die zweite Formel folgt aus der ersten mit Induktion.) (c) F¨ur jedes δ > 0 konvergiert die FunktionenfolgeF_n auf dem Intervall [δ,2π −δ]

gleichm¨aßig gegen 0. Was ist F_n(0)?

Aufgabe 3. Die Funktiong:R→R,g(x) =e^−x1 f¨urx >0 undg(x) = 0 f¨urx≤0 ist beliebig oft stetig differenzierbar (siehe Analysis I, ¨Ubungsblatt 11, Aufgabe 4). Seien nuna₀ < a₁< b₁< b₀ ∈R.

(a) Konstruieren Sie C^∞-Funktionen h undk, so dass

h(x) =

(1, x≤a₀,

0, x≥b₀, sowie k(x) =

(1, a₁≤x≤b₁,

0, x≤a₀ oderx≥b₀.

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(b) Konstruieren Sie eine beliebig oft stetig differenzierbare Funktionφ:R^d→[0,∞) mit kompaktem Tr¨ager undR

R^dφ(x)dx= 1.

Aufgabe 4. Zeigen Sie, dass f¨ur jedes p∈[1,∞) und jede Funktion f ∈ L^p(R^d) die Abbildung

R^d→L^p(R^d), a7→f ◦t_a,

stetig ist, wobeit_a:R^d→R^d die Translationx7→x+abezeichne.

(Hinweis: Erst f ∈Cc(R^d) annehmen, dann den Approximationssatz verwenden.) Aufgabe 5. Eine Funktion f:R → R heißt schnell fallend, falls sie beliebig oft dif-

ferenzierbar ist und f¨ur alle k, l∈N0 die Funktion x7→x^kf^(l)(x) beschr¨ankt ist. Sehr n¨utzlich beim Studium der Fourier-Transformation ist der Schwartz-Raum

S(R) :={f ∈C^∞(R) :f ist schnell fallend}.

Zeigen Sie:

(a) F¨ur jedesp∈[1,∞) ist S(R) enthalten inL^p(R).

(b) Definieren wir f¨ur f:R → R die Funktionen Df, P f durch (Df)(x) := if⁰(x) und (P f)(x) := xf(x), so gilt f¨ur jedes f ∈ S(R) erstens Df, P f ∈ S(R) und zweitensdDf =−PfˆsowieP fc =Dfˆ.

(c) Die Fourier-Transformation bildet S(R) bijektiv auf sich selbst ab.

(Hinweis: Aufgabe 5 von Blatt 8.)

(d) Es gilt die Plancherel-Formel kfkˆ ₂=kfk₂ f¨ur alle f ∈S(R).

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