Prof. Dr. J. Ebert PD Dr. T. Timmermann
Ubung zur Analysis 1¨ Blatt 10
Abgabe bis Do, 08.01., 12 Uhr Aufgabe 1 zur Bearbeitung in der ¨Ubung Aufgaben 2-4 zur selbst¨andigen Bearbeitung
Aufgabe 1. (a) Betrachten Sie Funktionenfolge fn : [0,1] → R, fn(x) = xn aus der Vorlesung, welche punktweise gegen die Grenzfunktion
f(x) =
(0 x <1 1 x= 1
konvergiert. F¨ur welche Zahlen r∈ [0,1] konvergiert die Folge (fn)n gleich- m¨aßig gegen f auf dem Intervall [0, r] ? F¨ur welche r auf [0, r)?
(b) Man betrachte gn : R → R, gn(x) = 1+nxx 2 und zeige durch eine Kur- vendiskussion: |gn(x)| ≤ 2√1n f¨ur allex. Daraus folgt, dass (gn)ngleichm¨aßig gegen die Nullfunktion konvergiert. Untersuchen Sie das Konvergenzverhal- ten der abgeleiteten Folgegn0. Veranschaulichen Sie sich die Situation, indem Sie den Graphen der Funktionen gn skizzieren.
Aufgabe 2. Seienf, g: [a, b]→R stetig und auf (a, b) differenzierbar.
(a) Zeigen Sie, dass
(f(b)−f(a))g0(ξ) = (g(b)−g(a))f0(ξ)
f¨ur einξ ∈(a, b), indem Sie den Satz von Rolle auf eine Funktion der Form x7→αf(x) +βg(x) anwenden.
(b) Es sei g(a) = f(a) = 0, und f¨ur alle x ∈(a, b) sei g(x)6= 0 sowie g0(x)>0.
Ferner existiere c:= limx→a f0(x)
g0(x). Zeigen Sie: es gilt limx→a f(x) g(x) =c.
Aufgabe 3. Sei s ∈ R. F¨ur n ∈ Z sind die verallgemeinerten Binomialkoef- fizienten ns
definiert durch
s n
=
0, n < 0,
1, n = 0,
s(s−1)· · ·(s−n+ 1)
1·2· · ·n , n ≥1.
Die binomische Reihe zum Parameters ∈Rist die Potenzreihe fs(x) =
∞
X
n=0
s n
xn.
(a) Bestimmen Sie den Konvergenzradius der binomischen Reihe. Beachten Sie dabei den Fall s∈N.
1
Prof. Dr. J. Ebert PD Dr. T. Timmermann
(b) Zeigen Sie, dass gilt:
n s
n
=s
s−1 n−1
,
s n
+
s n+ 1
=
s+ 1 n+ 1
.
(c) Zeigen Sie, dass (1 +x)fs(x) = fs+1(x) und fs0(x) = sfs−1(x) f¨ur alle x im Konvergenzbereich. (Diese Gleichungen werden wir sp¨ater verwenden, um die Gleichung fs(x) = (1 +x)s zu beweisen.)
Aufgabe 4. Zeigen Sie, dass die Funktionenfolge (fn)n mit fn:R→R, x7→
r 1 n2 +x2
gleichm¨aßig konvergiert (wogegen?). Untersuchen Sie das Konvergenzverhalten der Ableitungen fn0.
Zusatzaufgabe 5. (a) (Raabesches Konvergenzkriterium) Sei (an)n eine Folge positiver reeller Zahlen, β >1 und c∈R sowie
an+1
an ≤1− β n+c f¨ur fast alle n. Zeigen Sie, dass die Reihe P
nan konvergiert. Bemerkung:
die Voraussetzungβ >1 ist wichtig, wie man an der divergenten ReiheP
n 1 n
erkennen kann. Hinweis: Man zeige nacheinander:
• Die Folge ((n+c)an+1)nist monoton fallend (zumindest ab einem gen¨ugend großen N).
• F¨ur fast allen gilt (β−1)an≤(n−1 +c)an−(n+c)an+1.
• F¨ur fast allen gilt (β−1)PM
n=N+1an≤(N +c)aN
(b) Zeigen Sie, dass die binomische Reihe aus Aufgabe 3 im Falls >0 auch f¨ur x=±1 konvergiert.
2
