Prof. Dr. J. Ebert PD Dr. T. Timmermann
Ubung zur Analysis 1¨ Blatt 7
Abgabe bis Do, 04.12., 12 Uhr Aufgabe 1 zur Bearbeitung in der ¨Ubung Aufgaben 2-4 zur selbst¨andigen Bearbeitung
Aufgabe 1. Gegeben sind die Funktionen sgn,b·c,zack : R→R,
(a) sgn(x) =
−1, x <0, 0, x= 0, 1, x >0,
(b) bxc= max{n∈Z:n≤x}, (c) zack(x) =
x+ 1 2
−x .
An welchen Stellen sind diese Funktionen jeweils stetig beziehungsweise unstetig?
Begr¨unden Sie Ihre Antwort.
Aufgabe 2. (a) An welchen Stellen ist die Funktionf: Q→R, definiert durch
f(x) =
(0, x <√ 2, 1, x >√
2,
stetig beziehungsweise unstetig? Begr¨unden Sie Ihre Antwort.
(b) Beweisen oder widerlegen Sie folgende Aussage: Das Produkt f ·g zweier bei x0 ∈R unstetiger Funktionenf, g: R→Rist wieder unstetig bei x0. Aufgabe 3. Seiena, b∈R mit a < b.
(a) Seien f, g: [a, b] → R stetige Funktionen mit f(a)≥ g(a) und f(b) ≤ g(b).
Zeigen Sie, dass dann ein x∈[a, b] existiert mit f(x) = g(x).
(b) Seif: [a, b]→[a, b] eine stetige Funktion. Zeigen Sie, dass dann einx∈[a, b]
existiert mit f(x) =x.
(Hinweis: Solch ein xnennt man einen Fixpunkt von f.)
Aufgabe 4. (Beispiel einer Funktion, die nicht stetig ist, aber den Zwischen- wertsatz erf¨ullt.) Sei y ∈[0,1] und es sei g :R→R definiert durch
g(x) :=
(zack(x1) x6= 0,
y x= 0.
Zeigen Sie.
(a) g ist stetig auf R\ {0}.
(b) Berechnen Sie g(1/n) undg(1/(n+ 1/2)) f¨ur alle n∈N. (c) Unabh¨angig davon, wie y gew¨ahlt wurde, ist g unstetig bei 0.
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(d) Dennoch erf¨ulltg die Schlussfolgerung des Zwischenwertsatzes, mit anderen Worten: sind x0 < x1 ∈R undg(x0)≤c≤g(x1) oderg(x1)≤c≤g(x0), so gibt es ein x0 ≤x ≤ x1 mit g(x) = c. (Hinweis: Die F¨alle (i) 0 < x0 < x1 und (ii) x0 < x1 < 0 sind einfach; im Fall (iii) x0 ≤ 0 < x1 kann man mit (b) x0 durch ein x00 ∈(0, x1) ersetzen; der Fall (iv)x0 <0 =x1 ist ¨ahnlich.) Zusatzaufgabe 5. Gegeben sind die Funktionen f: R→Rundg: (0,∞)→R,
f(x) =
(1, x∈Q,
0, sonst, g(x) =
(1/q, x=p/q f¨ur teilerfremdep, q ∈N, 0, sonst.
An welchen Stellen sind diese Funktionen jeweils stetig beziehungsweise unstetig?
Begr¨unden Sie Ihre Antwort.
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