Prof. Dr. J. Ebert PD Dr. T. Timmermann
Ubung zur Analysis 1¨ Blatt 8
Abgabe bis Do, 11.12., 12 Uhr Aufgabe 1 zur Bearbeitung in der ¨Ubung Aufgaben 2-4 zur selbst¨andigen Bearbeitung
Aufgabe 1. Eine stetige Funktion bildet kompakte Intervalle stets auf kompakte Intervalle ab. ¨Uber das Verhalten auf offenen Intervallen kann man wenig sagen:
Finden Sie stetige Funktionenf, g, h: (0,1)→R mit
f((0,1)) = [0,1], g((0,1)) = [0,∞), h((0,1)) =R.
Begr¨unden Sie, wieso Ihre Funktionen stetig sind und das gew¨unschte Bild haben.
Aufgabe 2. Bestimmen Sie die Funktionslimites limx→af(x), wobeiaundf wie folgt gegeben ist:
(a) f :R\ {1} →R, f(x) = x3−1
x−1, a= 1 (b) f :R→R, f(x) = x
1− x2 (1 +x)2
, a= +∞
(c) f : (1,∞)→R, f(x) =
√x−1
√x−1, a= 1.
Hinweis f¨ur (c): √
x≤1 + x−12 (Bernoulli).
Aufgabe 3. Bestimmen Sie f¨ur die Menge
A={an,m :m, n∈N}, wobeian,m = 1
m + (−1)m+1 n+m ,
(a) supA, infA, und ob ein Maximum beziehungsweise ein Minimum existiert, (b) die Menge der Ber¨uhrpunkte von A. (Hinweis: Sei (aα(k),β(k))k eine kon- vergente Folge mit α, β: N → N. Dann ist entweder (α(k))k beschr¨ankt und es gibt ein m mit α(k) = m f¨ur unendlich viele k, oder (α(k))k ist unbeschr¨ankt.)
(c) die Menge der inneren Punkte und Randpunkte von A.
Aufgabe 4. Seif: R→R eine Funktion, welche die Bedingungenf(0) = 1 und f(x+y) =f(x)f(y) f¨ur alle x, y ∈R erf¨ullt. Zeigen Sie:
(a) f(x)6= 0 f¨ur alle x∈R.
(b) f ist stetig auf ganz R genau dann, wenn f in 0 stetig ist.
(c) Falls f nicht konstant 1 ist, so ist f(R) = (0,∞) (Hinweis: Zwischenwert- satz).
Zusatzaufgabe 5. Sei f: R→R wie in Aufgabe 4 und stetig. Zeigen Sie:
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(a) Falls ein y 6= 0 mit f(y) = 1 existiert, so ist f konstant (Hinweis: Zeigen Sie: falls y6= 0 mit f(y) = 1 existiert, dann ist f(qy) = 1 f¨ur alle q∈Q).
(b) Ist f nicht konstant, so ist f injektiv und streng monoton und besitzt eine stetige Umkehrfunktion g : (0,∞)→R.
(c) f ist durch den Wert f(1) eindeutig bestimmt.
Nikolausaufgabe. Man verfasse ein Gedicht ¨uber die Analysis.
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