Prof. Dr. J. Ebert PD Dr. T. Timmermann
Ubung zur Analysis 3¨ Blatt 6
Abgabe bis Do, 03.12., 12 Uhr Aufgabe 1 zur Bearbeitung in der ¨Ubung Aufgaben 2-5 zur selbst¨andigen Bearbeitung
Aufgabe 1. Seif ∈ L1(R). Die Fourier-Transformierte fˆist dann definiert durch f(ξ) =ˆ 1
√2π Z
R
f(x)e−ixξdx f¨ur alle ξ ∈R.
Sei ferner xf ∈ L1(R), wobei xf die Funktion x 7→xf(x) bezeichne. Zeigen Sie, dass dann ˆf stetig differenzierbar ist mit
d dξ
fˆ(ξ) =−i(xfd)(ξ).
Aufgabe 2. Seif ∈ L1(R) stetig differenzierbar undf0∈ L1(R). Zeigen Sie:
(a) Es gilt limx→∞f(x) = 0 = limx→−∞f(x).
(b) Die Fourier-Transformierte vonf0ist gegeben durch(fd0)(ξ) =iξfˆ(ξ) f¨ur alleξ∈R. (Hinweis: Partielle Integration und Satz ¨uber dominierte Konvergenz.)
Aufgabe 3. Sei (X,A, µ) ein Maßraum und (Y, d) ein metrischer Raum sowief:X× Y →Reine Funktion mit folgenden Eigenschaften:
(i) f¨ur jedes x∈X ist die Funktion f(x,−) :y7→f(x, y) auf Y stetig;
(ii) es gibt eine integrierbare Funktion g auf X mit g≥ |f(−, y)|f¨ur alle y ∈Y; ins- besondere ist also f¨ur jedesy∈Y die Funktionf(−, y) : x7→f(x, y) integrierbar.
Nach Vorlesung ist dann die FunktionF:Y →R,y 7→R
Xf(x, y)dµ(x), stetig.
(a) Welchen Satz der Vorlesung erh¨alt man im Fall Y ={1/n:n∈N} ∪ {0}(mit der
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ublichen Metrik)?
(b) Beweisen Sie mit Hilfe des Satzes der Vorlesung folgenden aus der Analysis 2 bekannten Satz: Ist (gn)n eine gleichm¨aßig konvergente Folge stetiger Funktionen auf einer Teilmenge U ⊆R, so ist auch deren Grenzfunktion g stetig.
(Hinweis: Setzen SieX=Nund verwenden Sie eine Teilfolge (gnk)k mitkgnk+1− gnkk<2−k.)
Aufgabe 4. (a) Sei (X,A, µ) ein Maßraum undf:X→[−∞,∞] integrierbar. Zeigen Sie: F¨ur jedes >0 einδ >0 so, dass f¨ur jedes A∈ Agilt:
µ(A)< δ ⇒ Z
A
f dµ
< .
(Hinweis: Sie k¨onnen sich auf den Fall f ≥0 einschr¨anken. Zeigen Sie dann die Aussage zuerst f¨ur Stufenfunktionen und dann per Approximation f¨urf.)
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(b) Sei f:R → [−∞,∞] Lebesgue-integrierbar. Zeigen Sie, dass dann die Funktion F, definiert durch
F(t) :=
Z
[0,t]
f dµf¨urt≥0 und F(t) :=− Z
[t,0]
f dµf¨urt <0 gleichm¨aßig stetig ist.
Zusatzaufgabe 5. Seif:R→[−∞,∞] Lebesgue-integrierbar. Zeigen Sie, dass dann
n→∞lim f(x+n) = 0 und lim
n→∞f(x−n) = 0 f¨urµ-fast alle x∈R. Schr¨anken Sie sich dazu auf den Fallf ≥0 ein und betrachten Sie die Werte
X
n∈Z
Z
[0,1)
f(x+n)dµ(x) und Z
[0,1)
X
n∈Z
f(x+n)dµ(x).
Damn muss aber auch der letzte Integrand, also die Reihe
∞
X
n=0
f(x+n),
f¨ur µ-fast alle x ∈ [0,1) endlich sein. Daraus folgt, dass (f(x+n))n f¨ur µ-fast alle x∈[0,1) eine Nullfolge ist. Analog sieht man, dass (f(x−n))nf¨urµ-fast allex∈[0,1) eine Nullfolge ist. Damit folgt die Behauptung.
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